Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
O conteúdo principal aqui é análise de funções racionais: domínio, assíntotas, interceptos, limites no infinito, monotonicidade e concavidade. Vamos usar divisão de polinômios, limites e derivadas para traçar o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio e simplificar a forma:
O denominador é , logo o domínio é
O denominador é
Fazendo divisão de
por
, obtemos
Passo 3
Encontrar assíntotas:
— Vertical: ocorre onde , pois o denominador some. Logo há assíntota vertical em
— Vertical: ocorre onde
— Oblíqua: como para
temos
, a assíntota oblíqua é
Passo 4
Calcular interceptos com os eixos:
— Intercepto em : não existe, pois
não pertence ao domínio.
— Interceptos em : resolvemos
:
— Intercepto em
— Interceptos em
Logo os pontos
e
.
Passo 5
Analisar limites e comportamento junto às assíntotas:
— :
, logo
.
— :
, logo
.
— :
, aproxima-se de
por baixo.
— :
, aproxima-se de
por cima.
—
—
—
—
Passo 6
Estudar monotonicidade com a derivada:
Portanto
é estritamente crescente em
e em
, sem extremos locais.
Passo 7
Estudar concavidade com a segunda derivada:
— Para
,
: concavidade para cima.
— Para ,
: concavidade para baixo.
— Para
Resposta
O esboço do gráfico de
é composto por duas curvas, uma para
e outra para
:
- Assíntota vertical em
e oblíqua em . - Para
: o ramo sai de ao aproximar-se de , é crescente, cruza , é côncavo para cima e tende a seguir a reta por cima quando . - Para
: o ramo vem de ao aproximar-se de , é crescente, cruza , é côncavo para baixo e tende a seguir a reta por baixo quando .
Desenhe a reta, a reta e trace as duas curvas conforme descrito.