Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-2}{x}.
O conteúdo principal aqui é análise de funções racionais: domínio, assíntotas, interceptos, limites no infinito, monotonicidade e concavidade. Vamos usar divisão de polinômios, limites e derivadas para traçar o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio e simplificar a forma:
O denominador é x, logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
Fazendo divisão de x^{2}-2 por x, obtemos
f(x)=x-\frac{2}{x}.

Passo 3

Encontrar assíntotas:
— Vertical: ocorre onde x=0, pois o denominador some. Logo há assíntota vertical em
x=0.
— Oblíqua: como para \lvert x\rvert\to\infty temos f(x)=x-2/x\approx x, a assíntota oblíqua é
y=x.

Passo 4

Calcular interceptos com os eixos:
— Intercepto em y: não existe, pois x=0 não pertence ao domínio.
— Interceptos em x: resolvemos f(x)=0:
x-\frac{2}{x}=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Logo os pontos \bigl(\sqrt{2},0\bigr) e \bigl(-\sqrt{2},0\bigr).

Passo 5

Analisar limites e comportamento junto às assíntotas:
x\to0^+: -2/x\to-\infty, logo f(x)\to-\infty.
x\to0^-: -2/x\to+\infty, logo f(x)\to+\infty.
x\to+\infty: f(x)-x=-2/x\to0^-, aproxima-se de y=x por baixo.
x\to-\infty: f(x)-x=-2/x\to0^+, aproxima-se de y=x por cima.

Passo 6

Estudar monotonicidade com a derivada:
f'(x)=1+\frac{2}{x^{2}}>0\quad\forall x\neq0.
Portanto f é estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty), sem extremos locais.

Passo 7

Estudar concavidade com a segunda derivada:
f''(x)=-\frac{4}{x^{3}}.
— Para x<0, f''(x)>0: concavidade para cima.
— Para x>0, f''(x)<0: concavidade para baixo.

Resposta

O esboço do gráfico de f(x)=x-\tfrac{2}{x} é composto por duas curvas, uma para x<0 e outra para x>0:
  1. Assíntota vertical em x=0 e oblíqua em y=x.
  2. Para x<0: o ramo sai de +\infty ao aproximar-se de 0^-, é crescente, cruza \bigl(-\sqrt{2},0\bigr), é côncavo para cima e tende a seguir a reta y=x por cima quando x\to-\infty.
  3. Para x>0: o ramo vem de -\infty ao aproximar-se de 0^+, é crescente, cruza \bigl(\sqrt{2},0\bigr), é côncavo para baixo e tende a seguir a reta y=x por baixo quando x\to+\infty.
    Desenhe a reta x=0, a reta y=x e trace as duas curvas conforme descrito.

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