Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe (justifique sua resposta):
F(x)=c2 x-7, se x>6 x-5, se 1<x <= 6 1, se x=1 -2 x-2, se -2<x<1 -1, se x=-2 1+x, se x <=-2
lim x -3 F(x) ; lim x -2 F(x) ; lim x 1 F(x) ; lim x 3 F(x) ; lim x 6 F(x)

Passo 1

O enunciado define a função por trechos em seis regiões de x:
;x<-2, x=-2, -2<x<1, x=1, 1<x<=6 e x>6.
Pede-se que esbocemos o gráfico e analisemos os limites
limxto-3F(x), limxto-2F(x), limxto1F(x),
limxto3F(x) e limxto6F(x).
Vamos usar o fato de que cada ramo é uma função linear (logo contínua em seu domínio interior) e estudar limites laterais nos pontos de quebra.

Passo 2

Esboço do gráfico por trechos:
1. Para x<-2:
F(x)=1+x,
reta de inclinação 1, com ponto aberto em x=-2.
2. Em x=-2:
F(-2)=-1,
ponto isolado.
3. Para -2<x<1:
F(x)=-2x-2,
reta de inclinação -2, com pontos abertos em -2 e em 1.
4. Em x=1:
F(1)=1,
ponto isolado.
5. Para 1<x<=6:
F(x)=x-5,
reta de inclinação 1, fechada em x=6, aberta em x=1.
6. Para x>6:
F(x)=2x-7,
reta de inclinação 2, aberta em x=6.

Passo 3

Limites em pontos internos de intervalo de continuidade (sem quebra):
  • Para xto -3, estamos em x<-2, então F(x)=1+x é contínua e
limxto-3F(x)=1+(-3)=-2
  • Para xto 3, estamos em 1<x<=6, então F(x)=x-5 é contínua e
limxto3F(x)=3-5=-2

Passo 4

Limite em xto-2: calcular laterais
  • Lateral à esquerda ( x<-2): F(x)=1+x, logo
limxto-2^-F(x)=1+(-2)=-1
  • Lateral à direita ( -2<x<1): F(x)=-2x-2, logo
limxto-2^+F(x)=-2cdot(-2)-2=4-2=2
Como -1neq2, não existe limxto-2F(x).

Passo 5

Limite em xto1:
  • Lateral à esquerda ( -2<x<1): F(x)=-2x-2,
    limxto1^-F(x)=-2cdot1-2=-4.
  • Lateral à direita ( 1<x<=6): F(x)=x-5,
    limxto1^+F(x)=1-5=-4.
    Como coincidem,
limxto1F(x)=-4

Passo 6

Limite em xto6:
  • Lateral à esquerda ( 1<x<=6): F(x)=x-5,
    limxto6^-F(x)=6-5=1.
  • Lateral à direita ( x>6): F(x)=2x-7,
    limxto6^+F(x)=2cdot6-7=5.
    Como 1neq5, não existe limxto6F(x).

Resposta

limxto-3F(x)=-2 (existe)
limxto-2F(x) não existe
limxto1F(x)=-4 (existe)
limxto3F(x)=-2 (existe)
limxto6F(x) não existe

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