Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe (justifique sua resposta): lim x -3 F(x) ; lim x -2 F(x) ; lim x 1 F(x) ; lim x 3 F(x) ; lim x 6 F(x)
Passo 1
O enunciado define a função por trechos em seis regiões de x: ;x<-2, x=-2, -2<x<1, x=1, 1<x<=6 e x>6.
Pede-se que esbocemos o gráfico e analisemos os limites limxto-3F(x), limxto-2F(x), limxto1F(x), limxto3F(x) e limxto6F(x).
Vamos usar o fato de que cada ramo é uma função linear (logo contínua em seu domínio interior) e estudar limites laterais nos pontos de quebra.
Passo 2
Esboço do gráfico por trechos: 1. Para x<-2:
F(x)=1+x,
reta de inclinação 1, com ponto aberto em x=-2. 2. Em x=-2:
F(-2)=-1,
ponto isolado. 3. Para -2<x<1:
F(x)=-2x-2,
reta de inclinação -2, com pontos abertos em -2 e em 1. 4. Em x=1:
F(1)=1,
ponto isolado. 5. Para 1<x<=6:
F(x)=x-5,
reta de inclinação 1, fechada em x=6, aberta em x=1. 6. Para x>6:
F(x)=2x-7,
reta de inclinação 2, aberta em x=6.
Passo 3
Limites em pontos internos de intervalo de continuidade (sem quebra):
Para xto -3, estamos em x<-2, então F(x)=1+x é contínua e
limxto-3F(x)=1+(-3)=-2
Para xto 3, estamos em 1<x<=6, então F(x)=x-5 é contínua e
limxto3F(x)=3-5=-2
Passo 4
Limite em xto-2: calcular laterais
Lateral à esquerda (x<-2): F(x)=1+x, logo
limxto-2^-F(x)=1+(-2)=-1
Lateral à direita (-2<x<1): F(x)=-2x-2, logo
limxto-2^+F(x)=-2cdot(-2)-2=4-2=2
Como -1neq2, não existe limxto-2F(x).
Passo 5
Limite em xto1:
Lateral à esquerda (-2<x<1): F(x)=-2x-2, limxto1^-F(x)=-2cdot1-2=-4.
Lateral à direita (1<x<=6): F(x)=x-5, limxto1^+F(x)=1-5=-4.
Como coincidem,
limxto1F(x)=-4
Passo 6
Limite em xto6:
Lateral à esquerda (1<x<=6): F(x)=x-5, limxto6^-F(x)=6-5=1.
Lateral à direita (x>6): F(x)=2x-7, limxto6^+F(x)=2cdot6-7=5.
Como 1neq5, não existe limxto6F(x).
Resposta
limxto-3F(x)=-2 (existe) limxto-2F(x) não existe limxto1F(x)=-4 (existe) limxto3F(x)=-2 (existe) limxto6F(x) não existe