Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe (justifique sua resposta):
G(x)=l3 x-4, se x>3 5-3 x, se -1 <= x <= 3 x+9, se -3<x<-1 3-x, se -5<x <=-3 x+8, se x <=-5
lim x -5 G(x) ; lim x -3 G(x) ; lim x -1 G(x) ; lim x 3 G(x)

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
G(x)= x+8, & x<= -5, 3 - x, & -5< x<= -3, x+9, & -3< x< -1, 5 - 3x, & -1<= x<= 3, 3x - 4, & x>3,
e pede os limites limxto -5G(x), limxto -3G(x), limxto -1G(x) e limxto 3G(x). Vamos primeiro entender o esboço do gráfico (segmentos de reta e pontos de quebra) e depois calcular cada limite analisando limites laterais.

Passo 2

Esboço do gráfico por partes:
– Para x<= -5, um segmento de reta de inclinação 1, valor em -5 é
G(-5)=(-5)+8=3
(ponto fechado em (-5,3)).
– Para -5< x<= -3, reta de inclinação -1, em x=-5 vale 3-(-5)=8 (círculo aberto em (-5,8)) e em x=-3 vale 3-(-3)=6 (fechado em (-3,6)).
– Para -3< x< -1, reta de inclinação 1, em -3 vale -3+9=6 (aberto) e em -1 vale -1+9=8 (aberto).
– Para -1<= x<= 3, reta de inclinação -3, em -1 vale 5-3(-1)=8 (fechado) e em 3 vale 5-3cdot3=-4 (fechado).
– Para x>3, reta de inclinação 3, em 3 vale 3cdot3-4=5 (aberto) e segue indefinidamente.

Passo 3

Limite em xto -5:
– Lateral pela esquerda ( x<-5): G(x)=x+8
limxto -5^-G(x)=(-5)+8=3
– Lateral pela direita ( -5< x): G(x)=3-x
limxto -5^+G(x)=3-(-5)=8
Como 3neq8, limxto -5G(x) não existe.

Passo 4

Limite em xto -3:
– Pela esquerda ( x<-3): G(x)=3-x to limxto -3^-G(x)=3-(-3)=6
– Pela direita ( x>-3): G(x)=x+9 to limxto -3^+G(x)=(-3)+9=6
Como as duas laterais coincidem,
limxto -3G(x)=6

Passo 5

Limite em xto -1:
– Pela esquerda ( x<-1): G(x)=x+9 to limxto -1^-G(x)=(-1)+9=8
– Pela direita ( x>-1): G(x)=5-3x to limxto -1^+G(x)=5-3(-1)=8
Logo
limxto -1G(x)=8

Passo 6

Limite em xto 3:
– Pela esquerda ( x<3): G(x)=5-3x to limxto 3^-G(x)=5-3cdot3=-4
– Pela direita ( x>3): G(x)=3x-4 to limxto 3^+G(x)=3cdot3-4=5
Como -4neq5, limxto 3G(x) não existe.

Resposta

limxto -5G(x) não existe.
limxto -3G(x)=6.
limxto -1G(x)=8.
limxto 3G(x) não existe.

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