Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe (justifique sua resposta):
g(x)=lraizx^2-9, se x >= 3 raiz9-x^2, se -3<x<3 raizx^2-9, se x <=-3
lim x -4 g(x) ; lim x -3 g(x) ; lim x 0 g(x) ; lim x 3 g(x) ; lim x 4 g(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= raizx^2-9,&x<= -3, raiz9-x^2,&-3<x<3, raizx^2-9,&x>= 3,
e pede os limites limxto -4g(x), limxto -3g(x), limxto 0g(x), limxto 3g(x) e limxto 4g(x). O conteúdo é análise de continuidade e limites laterais em pontos de mudança de definição.

Passo 2

Para entender o gráfico, note que
– em -3<x<3 temos
g(x)=raiz9-x^2,
que é a semicircunferência superior de raio 3 (de y=0 em x=-3 até y=0 em x=3).
– para x<= -3 e x>= 3 temos
g(x)=raizx^2-9,
que cresce a partir de 0 nos pontos x=pm3 em direção a infty quando lvert xrverttoinfty.

Passo 3

Esboçando, o gráfico é composto por:
– uma “meia-circunferência” centrada na origem, de (-3,0) a (3,0);
– um ramo para a esquerda de ( -3,0) subindo conforme raizx^2-9;
– um ramo para a direita de (3,0) subindo conforme raizx^2-9.

Passo 4

No ponto x=-4 estamos na região x<= -3, onde g(x)=raizx^2-9 é contínua. Logo
limxto -4g(x) =raiz(-4)^2-9 =raiz16-9 =raiz7

Passo 5

No ponto x=-3 consideramos os dois lados:
– para xto -3^- usamos raizx^2-9, que em x=-3 tende a raiz9-9=0.
– para xto -3^+ usamos raiz9-x^2, que em x=-3 também tende a raiz9-9=0.
Como ambos dão 0, o limite existe e vale 0.

Passo 6

No ponto x=0 estamos em -3<x<3, onde g(x)=raiz9-x^2 é contínua. Então
limxto 0g(x) =raiz9-0^2 =3

Passo 7

No ponto x=3 de novo checamos os dois lados:
– para xto 3^- em raiz9-x^2 temos raiz9-9=0.
– para xto 3^+ em raizx^2-9 temos raiz9-9=0.
Ambos coincidem em 0, logo o limite existe e vale 0.

Passo 8

No ponto x=4 estamos em x>=3, onde g(x)=raizx^2-9 é contínua. Então
limxto 4g(x) =raiz4^2-9 =raiz16-9 =raiz7

Resposta

limxto -4g(x)=raiz7
limxto -3g(x)=0
limxto 0g(x)=3
limxto 3g(x)=0
limxto 4g(x)=raiz7

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