Encontre as Raízes ou zero das funções polinomiais e escreva de forma fatorada.
f(x)=2 x^3-5 x^2+x+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os zeros da função polinomial
f(x)=2x^3-5x^2+x+2
e escrever f em forma fatorada. Vamos usar o teste de raízes racionais (teorema de Gauss) e, em seguida, aplicar o teorema do resto (divisão polinomial) para reduzir o grau até chegar a quadrática, que resolveremos com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Segundo o teste de raízes racionais, os candidatos a zero de f são os divisores de 2 (termo independente) divididos pelos divisores de 2 (coeficiente líder). Logo, as possibilidades são
pm1, pm2, pmtfrac12.

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes em f:
f(1)=2cdot1^3-5cdot1^2+1+2=2-5+1+2=0
Como f(1)=0, concluímos que x=1 é raiz de f.

Passo 4

Para reduzir o polinômio, dividimos f(x) por (x-1) usando divisão sintética ou polinomial. O quociente é
2x^2-3x-2,
pois
2x^3-5x^2+x+2 = (x-1)l(2x^2-3x-2r)

Passo 5

Agora resolvemos a quadrática
2x^2-3x-2=0
pela fórmula de Bhaskara:
x=3pmraiz(-3)^2-4cdot2cdot(-2)2cdot2 =3pmraiz9+164 =3pm54
Isso dá as raízes
x=3+54=2 e x=3-54=-tfrac12

Passo 6

Reunindo tudo, os zeros de f são
x=1, x=2, x=-tfrac12,
e a fatoração completa é
f(x)=(x-1),(x-2),(2x+1)

Resposta

As raízes (zeros) de são , e .\n\nA forma fatorada de é\n

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