Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe para as seguintes funções (justifique sua resposta): lim x -3 f(x) ; lim x -2 f(x) ; lim x 0 f(x) ; lim x 2 f(x) ; lim x 3 f(x)
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= 3 - x, & x>2, x - 2, & -2 < x <= 2, 2x + 1, & x <= -2,
e pede para esboçar o gráfico e estudar os limites limxto -3f(x), limxto -2f(x), limxto 0f(x), limxto 2f(x) e limxto 3f(x).
O conteúdo é cálculo de limites de função definida por partes, usando continuidade de cada ramo e comparação de limites laterais nos pontos de mudança de expressão.
Passo 2
Descrevendo o gráfico em cada intervalo e marcando aberturas e fechamentos:
Para x<= -2: reta de coeficiente angular 2 e intercepto 1. Em x=-2 ela toma valor
f(-2)=2cdot(-2)+1=-3
(e esse ponto está fechado).
2. Para -2<x<= 2: reta de coeficiente angular 1 e intercepto -2. Em x=-2 é aberto (não inclui) e em x=2 é fechado, com
f(2)=2-2=0
Para x>2: reta de coeficiente angular -1 e intercepto 3. Em x=2 é aberto, aproximando-se de f(2^+)=3-2=1.
Esse esboço mostra claras que só nos pontos x=-2 e x=2 há potencial descontinuidade por mudança de ramo.
Passo 3
Cálculo de limxto -3f(x):
Como -3<-2, nos aproximamos dentro do ramo 2x+1, que é contínuo.
Logo
limxto -3f(x)=2cdot(-3)+1=-6+1=-5
Passo 4
Cálculo de limxto -2f(x):
Lado esquerdo (xto -2^-) usa 2x+1, dá limxto -2^-f(x)=2cdot(-2)+1=-3.
Lado direito (xto -2^+) usa x-2, dá limxto -2^+f(x)=(-2)-2=-4.
Como -3neq -4, o limite limxto -2f(x)não existe.
Passo 5
Cálculo de limxto 0f(x):
Aqui 0 está no interior de -2<x<=2, ramo x-2 é contínuo.
Logo
limxto 0f(x)=0-2=-2
Passo 6
Cálculo de limxto 2f(x):
Lado esquerdo (xto 2^-) no ramo x-2, dá limxto 2^-f(x)=2-2=0.
Lado direito (xto 2^+) no ramo 3-x, dá limxto 2^+f(x)=3-2=1.
Como 0neq1, o limite limxto 2f(x)não existe.
Passo 7
Cálculo de limxto 3f(x):
Como 3>2, usamos 3-x, contínuo.
limxto 3f(x)=3-3=0
Resposta
limxto -3f(x)=-5 limxto -2f(x) não existe limxto 0f(x)=-2 limxto 2f(x) não existe limxto 3f(x)=0