Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
integral0^e integralln x^x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^eintegralln x^xf(x,y),dy,dx
e pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração. O conteúdo é interpretar a região
,R=(x,y)mid 0<x<e,;ln x<= y<= x
e descrevê-la projetando-a nos eixos.

Passo 2

Para esboçar R, note as curvas de contorno:
,y=ln x (que diverge para -infty quando xto0^+ e cresce lentamente)
e
,y=x (reta de inclinação 1).
A região R fica entre essas duas curvas para 0<x<e, estendendo-se indefinidamente para baixo conforme xto0^+.

Passo 3

Vamos projetar R sobre o eixo y. Como sempre y<= x<= e, temos
max y=e.
E como y>=ln x e ln xto-infty quando xto0^+, segue que
min y=-infty.
Portanto
yin(-infty,e]

Passo 4

Para trocar a ordem, fixamos um valor de y e achamos os valores de x tais que
ln x<= y<= x e 0<x<e
A desigualdade ln x<= y equivale a x<= e^y, e y<= x equivale a x>= y. Logo, para cada y,
max0,y;<=;x;<=;mine,e^y

Passo 5

Os pontos em que mudam as fórmulas de max0,y e mine,e^y são y=0 (sinal de y) e y=1 (quando e^y=e). Então dividimos em três faixas:
  • Se y<0: max0,y=0 e mine,e^y=e^y.
    Portanto xin[0,e^y].
  • Se 0<= y<=1: max0,y=y e mine,e^y=e^y.
    Portanto xin[y,e^y].
  • Se 1<y<= e: max0,y=y e mine,e^y=e.
    Portanto xin[y,e].

Passo 6

Reescrevendo a integral com a ordem trocada, obtemos a soma de três integrais impróprias em y:
integral-infty^0integral0^e^yf(x,y),dx,dy ;+; integral0^1integraly^e^yf(x,y),dx,dy ;+; integral1^eintegraly^ef(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^e!integralln x^xf(x,y),dy,dx = integral-infty^0!integral0^e^yf(x,y),dx,dy ;+; integral0^1!integraly^e^yf(x,y),dx,dy ;+; integral1^e!integraly^ef(x,y),dx,dy

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