Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração. O conteúdo é interpretar a região
e descrevê-la projetando-a nos eixos.
e pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração. O conteúdo é interpretar a região
e descrevê-la projetando-a nos eixos.
Passo 2
Para esboçar
, note as curvas de contorno:
(que diverge para
quando
e cresce lentamente)
e
(reta de inclinação 1).
A região fica entre essas duas curvas para
, estendendo-se indefinidamente para baixo conforme
.
e
A região
Passo 3
Vamos projetar
sobre o eixo
. Como sempre
, temos
.
E como e
quando
, segue que
.
Portanto
E como
Portanto
Passo 4
Para trocar a ordem, fixamos um valor de
e achamos os valores de
tais que
A desigualdade
equivale a
, e
equivale a
. Logo, para cada
,
Passo 5
Os pontos em que mudam as fórmulas de
e
são
(sinal de
) e
(quando
). Então dividimos em três faixas:
-
Se
: e .
Portanto. -
Se
: e .
Portanto. -
Se
: e .
Portanto.
Passo 6
Reescrevendo a integral com a ordem trocada, obtemos a soma de três integrais impróprias em
: