Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
j) f(x)= \begin{cases}\frac{\left(x^{2}-6 x+9\right)\left(2 x^{2}-15 x+7\right)}{x^{3}-13 x^{2}+51 x-63}, & \text { se } x \leq 0 \\\ x^{2}, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 1, & \text { se } 1<x<2 \\\ \sqrt{9-x^{2}}, & \text { se } 2 \leq x \leq 3\end{cases}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (sem resolver ainda). A função é definida por partes:
  • Para x\le 0: f(x)=\dfrac{\left(x^{2}-6 x+9\right)\left(2 x^{2}-15 x+7\right)}{x^{3}-13 x^{2}+51 x-63}.
  • Para 0<x<1: f(x)=x^{2}.
  • Para 1<x<2: f(x)=1.
  • Para 2\le x\le 3: f(x)=\sqrt{9-x^{2}}.
O que o enunciado pede: esboçar (desenhar) o gráfico de f. Informações relevantes dadas:
  • Intervalos de definição de cada pedaço (preste atenção em \le e < para saber onde há ponto preenchido ou aberto).
  • As expressões em cada intervalo: uma expressão racional complicada para x\le 0, uma parábola em (0,1), uma constante em (1,2) e uma semicircunferência superior em [2,3].
    A partir daqui vamos analisar cada pedaço, simplificar onde for possível e achar pontos importantes (valores nos extremos dos intervalos, limites laterais, continuidade, pontos abertos/fechados etc.).

Passo 2

Simplificar a expressão racional para x\le 0. Primeiro fatorar numerador e denominador.
Fatorando o numerador:
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2},
2x^{2}-15x+7=2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)(x-7),
logo o numerador é
\left(x^{2}-6x+9\right)\left(2x^{2}-15x+7\right)=2(x-3)^{2}(x-7)\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr).
Fatorando o denominador (testando raízes inteiras percebe-se x=3 como raiz):
x^{3}-13x^{2}+51x-63=(x-3)\bigl(x^{2}-10x+21\bigr)=(x-3)^{2}(x-7).
Assim a expressão racional (onde definida) simplifica cancelando fatores:
\frac{2(x-3)^{2}(x-7)\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)}{(x-3)^{2}(x-7)}=2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)=2x-1,
desde que não estejamos em pontos onde houve cancelamento original (ou seja, a forma racional original tem possíveis pontos removíveis em x=3 e x=7). Mas observe: neste pedaço do domínio estamos considerando apenas x\le 0; os pontos x=3 e x=7 estão fora desse intervalo. Portanto, para todos x\le 0 a expressão vale
f(x)=2x-1.
Isso significa que, na prática, no segmento x\le 0 o gráfico é a reta y=2x-1.

Passo 3

Analisar o comportamento e pontos nas fronteiras entre pedaços: primeiro em x=0.
  • Valor pela definição do primeiro pedaço (que inclui x=0, pois é x\le 0):
f(0)=2\cdot0-1=-1.
Portanto há um ponto preenchido em (0,-1).
  • Limite pela direita (em 0^+) usando o pedaço 0<x<1:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x^{2}=0.
Como f(0)=-1 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=0, há uma descontinuidade de salto em x=0. No esboço colocar:
  • ponto preenchido em (0,-1),
  • ponto aberto em (0,0) (início da parábola x^2 à direita).

Passo 4

Analisar a fronteira em x=1.
  • Limite pela esquerda (em 1^-) do pedaço 0<x<1:
\lim_{x\to 1^-} x^{2}=1.
  • Limite pela direita (em 1^+) do pedaço 1<x<2 (constante 1):
\lim_{x\to 1^+} f(x)=1.
As duas limites laterais coincidem e valem 1, mas a definição nos pedaços usa estritamente 0<x<1 e 1<x<2, ou seja, f(1) não está definido. Logo há um ponto apagado (buraco) em (1,1): o limite existe (=1) mas não há ponto preenchido. No esboço marcar uma circunferência aberta em (1,1).

Passo 5

Analisar a fronteira em x=2.
  • Limite pela esquerda (em 2^-) do pedaço 1<x<2 (constante 1):
\lim_{x\to 2^-} f(x)=1.
  • Valor pelo pedaço 2\le x\le 3 (inclui x=2):
f(2)=\sqrt{9-2^{2}}=\sqrt{5}\approx 2{,}236\ldots
Então há salto em x=2: à esquerda o valor da função se aproxima de 1, enquanto o valor real em x=2 é \sqrt{5}. No esboço:
  • colocar ponto aberto em (2,1) para indicar que o segmento horizontal não inclui x=2,
  • colocar ponto preenchido em (2,\sqrt{5}) como início do arco \sqrt{9-x^{2}}.

Passo 6

Analisar o pedaço 2\le x\le 3: f(x)=\sqrt{9-x^{2}}.
  • Essa função é a semicircunferência superior de raio 3 centrada na origem (a conhecida forma y=\sqrt{3^{2}-x^{2}}). Para 2\le x\le 3 ela fornece um arco do círculo:
    • em x=2: y=\sqrt{5} (já calculado),
    • em x=3: y=0. E x=3 está incluído, então ponto preenchido em (3,0).
  • O arco decresce de y=\sqrt{5} até y=0 conforme x vai de 2 a 3.

Passo 7

Resumo e pontos-chave para desenhar o gráfico (anotações numéricas convenientes):
  • Pedaço 1 ( x\le 0): reta y=2x-1. Pontos úteis:
    • f(0)=-1 (ponto preenchido (0,-1)),
    • para referência, quando x=-1 tem f(-1)=2(-1)-1=-3.
    • Não há zero desta reta dentro de x\le 0 (a raiz x=\tfrac{1}{2} está fora).
  • Pedaço 2 ( 0<x<1): segmento da parábola y=x^{2} entre:
    • aberto em (0,0),
    • aberto em (1,1),
    • concavidade para cima (curvatura típica de x^{2}), crescendo de 0 até 1.
  • Pedaço 3 ( 1<x<2): segmento horizontal y=1, aberto nos extremos:
    • aberto em (1,1),
    • aberto em (2,1).
  • Pedaço 4 ( 2\le x\le 3): arco da semicircunferência y=\sqrt{9-x^{2}}, com:
    • ponto preenchido em (2,\sqrt{5}) com \sqrt{5}\approx 2{,}236,
    • ponto preenchido em (3,0).

Passo 8

Instruções práticas de esboço (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque pontos de x: -1,0,1,2,3 e em y pelo menos até y\approx 3.
  2. Desenhe a reta y=2x-1 somente para x\le 0. Marque o ponto preenchido (0,-1). Faça a reta seguindo para a esquerda com inclinação 2.
  3. Em x=0 desenhe um círculo aberto em (0,0) representando o início da parábola y=x^{2}.
  4. Desenhe a parábola y=x^{2} para 0<x<1 como um pequeno arco do ponto aberto (0,0) até o ponto aberto (1,1).
  5. Desenhe a linha horizontal y=1 para 1<x<2 com círculos abertos em (1,1) e (2,1).
  6. Em (2,\sqrt{5}) coloque um ponto preenchido ( y\approx 2{,}236). A partir desse ponto desenhe o arco superior do círculo de raio 3 centrado na origem até (3,0), ambos preenchidos.
  7. Verifique os pontos de descontinuidade: salto em x=0 (ponto preenchido em (0,-1) e círculo aberto em (0,0)), buraco removível em (1,1) (círculo aberto), salto em x=2 (aberto em (2,1) e preenchido em (2,\sqrt{5})).

Passo 9

Observações finais sobre continuidade e zeros:
  • A função é contínua em todos os pontos interiores de cada pedaço (reta, parábola, reta horizontal, arco de círculo).
  • Descontinuidades: salto em x=0 e x=2; ponto removível (buraco) em x=1.
  • Zeros da função no domínio dado: f(3)=0 é o único zero (ponto (3,0)). Não há outro x com f(x)=0 nos outros pedaços com seus respectivos domínios.

Resposta

  • Para x\le 0: reta f(x)=2x-1 (ponto preenchido em (0,-1)).
  • Para 0<x<1: segmento da parábola f(x)=x^{2} entre pontos abertos (0,0) e (1,1).
  • Para 1<x<2: segmento horizontal f(x)=1, aberto em (1,1) e (2,1).
  • Para 2\le x\le 3: arco da semicircunferência superior f(x)=\sqrt{9-x^{2}}, com ponto preenchido em (2,\sqrt{5}) ( \sqrt{5}\approx2{,}236) e em (3,0).
  • Descontinuidades: salto em x=0 e x=2; buraco removível em x=1.

Exercícios relacionados