Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
e)
e)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: esboçar o gráfico da função
dada por
- Informações relevantes já na fórmula:
- A função depende de
. Isso indica simetria em relação ao eixo (é uma função par). - A expressão é um polinômio quadrático em
. Então vale a pena estudar a função auxiliar em uma variável não-negativa.
- A função depende de
Passo 2
Estratégia simples e motivo: substituir
por uma nova variável para entender a forma quadrática.
- Defina
. Note que sempre. - Então a função vira uma função de
:
e
.
Explicação didática: em vez de tentar lidar com
direto, trata-se de estudar a parábola
no domínio
e depois “transportar” esse gráfico para o eixo
usando
. Como
associa ambos
e
ao mesmo
, o gráfico ficará espelhado em
-eixo.
Passo 3
Analisar a parábola
: raízes, vértice e valor mínimo.
- Factorização para achar raízes:
Logo as raízes são
e
. Como
, ambas são admissíveis.
- Vértice (posição do mínimo, porque a concavidade é para cima): o vértice de
ocorre em
Valor no vértice:
Portanto a parábola tem mínimo
em
.
Resumo da análise de
:
- Raízes:
e . - Mínimo:
. - Para
, o gráfico é a parte da parábola .
Passo 4
Voltar para a variável
: traduzir as informações de
para
usando
.
- As equações
e correspondem a e , isto é
Portanto
em
e
.
-
O mínimo em
(com valor ) corresponde a , ou seja . Logo . -
O domínio original é todo
(porque está definido para todo ). O valor mínimo de é ; portanto a imagem (range) é
Passo 5
Escrever
de forma piecewise (útil para esboçar): desenvolver
conforme sinal de
.
- Se
, então e
- Se
, então e
Isso mostra que o gráfico é formado por duas parábolas diferentes (mesma concavidade) uma à direita (
) e outra à esquerda (
), espelhadas entre si porque a função é par.
Passo 6
Analisar cada ramo (fazendo completar quadrado ou encontrando vértices) — isso ajuda a posicionar bem o esboço.
-
Ramo direito (
): . - Vértice em
. Valor . Raízes e . - Portanto para
o gráfico é uma parábola com mínimo em , cruzando o eixo em e , e passando por .
- Vértice em
-
Ramo esquerdo (
): . - Vértice em
. Valor . Raízes e . - Portanto para
o gráfico é uma parábola com mínimo em , cruzando o eixo em e , e passando por .
- Vértice em
Observação didática: ambas parábolas têm o mesmo formato (mesma abertura), só que deslocadas horizontalmente e espelhadas. Note que ambas atingem
nos pontos simétricos
.
Passo 7
Comportamento em
, continuidade e derivabilidade (pontos importantes para esboçar).
- Valor em
: então . Então o gráfico passa por . - Continuidade: como ambas expressões coincidem em
(ambas dão ), é contínua em e em todo . - Derivabilidade em
: calcular derivadas laterais: - Para
, então . - Para
, então . - Como
, não é diferenciável em : há um “cume” (máximo local) em .
- Para
- Conclusão: em
existe um máximo local (não suave) com .
Passo 8
Montar tabela de pontos-chave para o esboço (pontos fáceis para plotar à mão).
-
, . -
, (mínimo do ramo esquerdo). -
, . -
, (máximo local). -
, . -
, (mínimo do ramo direito). -
, .
Dica prática para esboçar: plote esses pontos simétricos e desenhe a parábola que passa por
, desce até
cruzando em
, depois sobe; espelhe para
.
Passo 9
Descrição final do esboço (como desenhar passo a passo na prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
, , , . - Para
: ligue até formando a metade direita de uma parábola com vértice em ; continue subindo passando por . - Para
: faça o espelho em relação ao eixo do ramo direito. - Observe o cume em
: não é suave (derivadas laterais diferentes), então desenhe um pico suave (um “V” arredondado) em ao conectar as duas parábolas.
Resposta
Domínio: [\mathbb{R}).
Raízes (zeros):
.
Mínimos: pontos
e
(valor mínimo global
).
Máximo local em
:
(não diferenciável em
).
Função em forma piecewise:
Imagem (range): ([-1,\infty)].
Gráfico: duas parábolas idênticas espelhadas em relação ao eixo
, com vértices em
e
, cruzando o eixo
em
e passando por
.]