Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
e) f(x)=|x|^{2}-4|x|+3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: esboçar o gráfico da função f dada por
f(x)=|x|^{2}-4|x|+3.
  • Informações relevantes já na fórmula:
    • A função depende de |x|. Isso indica simetria em relação ao eixo y (é uma função par).
    • A expressão é um polinômio quadrático em |x|. Então vale a pena estudar a função auxiliar em uma variável não-negativa.

Passo 2

Estratégia simples e motivo: substituir |x| por uma nova variável para entender a forma quadrática.
  • Defina \displaystyle t=|x|. Note que \;t\ge 0\; sempre.
  • Então a função vira uma função de t:
g(t)=t^{2}-4t+3,\qquad t\ge 0,
e f(x)=g(|x|).
Explicação didática: em vez de tentar lidar com |x| direto, trata-se de estudar a parábola g(t) no domínio t\ge0 e depois “transportar” esse gráfico para o eixo x usando t=|x|. Como t=|x| associa ambos x e -x ao mesmo t, o gráfico ficará espelhado em y-eixo.

Passo 3

Analisar a parábola g(t)=t^{2}-4t+3: raízes, vértice e valor mínimo.
  • Factorização para achar raízes:
t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3).
Logo as raízes são t=1 e t=3. Como t\ge 0, ambas são admissíveis.
  • Vértice (posição do mínimo, porque a concavidade é para cima): o vértice de t^{2}-4t+3 ocorre em
t=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2.
Valor no vértice:
g(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.
Portanto a parábola tem mínimo -1 em t=2.
Resumo da análise de g:
  • Raízes: t=1 e t=3.
  • Mínimo: g(2)=-1.
  • Para t\in[0,\infty), o gráfico é a parte da parábola t^{2}-4t+3.

Passo 4

Voltar para a variável x: traduzir as informações de t para x usando t=|x|.
  • As equações t=1 e t=3 correspondem a |x|=1 e |x|=3, isto é
x=\pm 1\quad\text{e}\quad x=\pm 3.
Portanto f(x)=0 em x=\pm1 e x=\pm3.
  • O mínimo em t=2 (com valor -1) corresponde a |x|=2, ou seja x=\pm 2. Logo f(\pm 2)=-1.
  • O domínio original é todo \mathbb{R} (porque |x| está definido para todo x). O valor mínimo de f é -1; portanto a imagem (range) é
\mathrm{Im}(f)=[-1,\infty).

Passo 5

Escrever f de forma piecewise (útil para esboçar): desenvolver |x| conforme sinal de x.
  • Se x\ge 0, então |x|=x e
f(x)=x^{2}-4x+3\quad\text{para }x\ge 0.
  • Se x<0, então |x|=-x e
f(x)=(-x)^{2}-4(-x)+3=x^{2}+4x+3\quad\text{para }x<0.
Isso mostra que o gráfico é formado por duas parábolas diferentes (mesma concavidade) uma à direita ( x\ge0) e outra à esquerda ( x<0), espelhadas entre si porque a função é par.

Passo 6

Analisar cada ramo (fazendo completar quadrado ou encontrando vértices) — isso ajuda a posicionar bem o esboço.
  • Ramo direito ( x\ge 0): f(x)=x^{2}-4x+3.
    • Vértice em x=\dfrac{4}{2}=2. Valor f(2)=-1. Raízes x=1 e x=3.
    • Portanto para x\ge 0 o gráfico é uma parábola com mínimo em (2,-1), cruzando o eixo x em x=1 e x=3, e passando por (0,3).
  • Ramo esquerdo ( x<0): f(x)=x^{2}+4x+3.
    • Vértice em x=\dfrac{-4}{2}=-2. Valor f(-2)=-1. Raízes x=-1 e x=-3.
    • Portanto para x<0 o gráfico é uma parábola com mínimo em (-2,-1), cruzando o eixo x em x=-1 e x=-3, e passando por (0,3).
Observação didática: ambas parábolas têm o mesmo formato (mesma abertura), só que deslocadas horizontalmente e espelhadas. Note que ambas atingem -1 nos pontos simétricos x=\pm 2.

Passo 7

Comportamento em x=0, continuidade e derivabilidade (pontos importantes para esboçar).
  • Valor em 0: |0|=0 então f(0)=0^{2}-4\cdot 0+3=3. Então o gráfico passa por (0,3).
  • Continuidade: como ambas expressões coincidem em x=0 (ambas dão 3), f é contínua em 0 e em todo \mathbb{R}.
  • Derivabilidade em 0: calcular derivadas laterais:
    • Para x>0, f'(x)=2x-4 então f'(0^+)=-4.
    • Para x<0, f'(x)=2x+4 então f'(0^-) = 4.
    • Como f'(0^+)\ne f'(0^-), f não é diferenciável em 0: há um “cume” (máximo local) em x=0.
  • Conclusão: em x=0 existe um máximo local (não suave) com f(0)=3.

Passo 8

Montar tabela de pontos-chave para o esboço (pontos fáceis para plotar à mão).
  • x=-3, f(-3)=0.
  • x=-2, f(-2)=-1 (mínimo do ramo esquerdo).
  • x=-1, f(-1)=0.
  • x=0, f(0)=3 (máximo local).
  • x=1, f(1)=0.
  • x=2, f(2)=-1 (mínimo do ramo direito).
  • x=3, f(3)=0.
Dica prática para esboçar: plote esses pontos simétricos e desenhe a parábola que passa por (0,3), desce até (2,-1) cruzando em 1, depois sobe; espelhe para x<0.

Passo 9

Descrição final do esboço (como desenhar passo a passo na prova, sem calculadora):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque os pontos (0,3), (\pm1,0), (\pm2,-1), (\pm3,0).
  • Para x\ge0: ligue (0,3) até (2,-1) formando a metade direita de uma parábola com vértice em (2,-1); continue subindo passando por (3,0).
  • Para x\le0: faça o espelho em relação ao eixo y do ramo direito.
  • Observe o cume em (0,3): não é suave (derivadas laterais diferentes), então desenhe um pico suave (um “V” arredondado) em x=0 ao conectar as duas parábolas.

Resposta

Domínio: [\mathbb{R}).
Raízes (zeros): x=\pm 1,\\ \pm 3.
Mínimos: pontos (2,-1) e (-2,-1) (valor mínimo global -1).
Máximo local em x=0: f(0)=3 (não diferenciável em 0).
Função em forma piecewise:
f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x+3, & x<0,\\[4pt] x^{2}-4x+3, & x\ge 0. \end{cases}
Imagem (range): ([-1,\infty)].
Gráfico: duas parábolas idênticas espelhadas em relação ao eixo y, com vértices em (-2,-1) e (2,-1), cruzando o eixo x em \pm1,\pm3 e passando por (0,3).]

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