Deve-se construir um tanque de aço em forma de um cilindro circular reto de 3 m de altura com dois hemisférios nos extremos. O raio
ainda está por determinar. Expresse a área
da superfície do tanque em função de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a forma do tanque: um cilindro circular reto com dois hemisférios acoplados nas extremidades.
- A altura do cilindro é
metros (ou seja, ). - O raio do cilindro e dos hemisférios é
(ainda não determinado). - O que se pede: expressar a área total da superfície do tanque,
, em função de .
Informações relevantes a lembrar (sem resolver ainda):
- O tanque não tem tampas planas: as extremidades planas do cilindro são substituídas pelas superfícies dos hemisférios.
- Precisaremos somar as áreas das partes curvas: a superfície lateral do cilindro e as superfícies dos dois hemisférios.
Passo 2
Área da superfície lateral do cilindro — por que é
.
- Imagine “desenrolar” a superfície lateral do cilindro: ela vira um retângulo cuja altura é
e cuja largura é o comprimento da circunferência da base do cilindro. - O comprimento da circunferência da base é
. - Portanto a área desse retângulo (área lateral do cilindro) é
- Aqui
é o raio (em metros) e é a altura do cilindro (em metros), então a unidade dessa área é metros quadrados.
Passo 3
Área da superfície dos hemisférios — por que duas hemisférios juntos dão
.
- A área da superfície de uma esfera de raio
é
- Um hemisfério (metade da esfera) tem justamente metade da área da esfera, ou seja
(considerando apenas a superfície curva do hemisfério). - Como temos dois hemisférios (um em cada extremidade), a área combinada das duas superfícies curvas é
Passo 4
Somando as partes para obter
e substituindo
.
- A área total
é a soma da área lateral do cilindro e da área das duas hemisférios:
- Substituindo
metros:
- Simplificando:
- Podemos também factorizar, se quiser uma forma alternativa:
- Observação final:
e a unidade de é metros quadrados.