Deve-se construir um tanque de aço em forma de um cilindro circular reto de 3 m de altura com dois hemisférios nos extremos. O raio r ainda está por determinar. Expresse a área S da superfície do tanque em função de r.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a forma do tanque: um cilindro circular reto com dois hemisférios acoplados nas extremidades.
  • A altura do cilindro é 3 metros (ou seja, h=3\\ \text{m}).
  • O raio do cilindro e dos hemisférios é r (ainda não determinado).
  • O que se pede: expressar a área total da superfície do tanque, S, em função de r.
Informações relevantes a lembrar (sem resolver ainda):
  • O tanque não tem tampas planas: as extremidades planas do cilindro são substituídas pelas superfícies dos hemisférios.
  • Precisaremos somar as áreas das partes curvas: a superfície lateral do cilindro e as superfícies dos dois hemisférios.

Passo 2

Área da superfície lateral do cilindro — por que é 2\pi r h.
  • Imagine “desenrolar” a superfície lateral do cilindro: ela vira um retângulo cuja altura é h e cuja largura é o comprimento da circunferência da base do cilindro.
  • O comprimento da circunferência da base é 2\pi r.
  • Portanto a área desse retângulo (área lateral do cilindro) é
\text{Área lateral do cilindro} = 2\pi r h.Á
  • Aqui r é o raio (em metros) e h é a altura do cilindro (em metros), então a unidade dessa área é metros quadrados.

Passo 3

Área da superfície dos hemisférios — por que duas hemisférios juntos dão 4\pi r^2.
  • A área da superfície de uma esfera de raio r é
\text{Área da esfera} = 4\pi r^2.Á
  • Um hemisfério (metade da esfera) tem justamente metade da área da esfera, ou seja 2\pi r^2 (considerando apenas a superfície curva do hemisfério).
  • Como temos dois hemisférios (um em cada extremidade), a área combinada das duas superfícies curvas é
\text{Área dos dois hemisférios} = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 = 4\pi r^2.Áé

Passo 4

Somando as partes para obter S(r) e substituindo h=3.
  • A área total S é a soma da área lateral do cilindro e da área das duas hemisférios:
S(r)=2\pi r h + 4\pi r^2.
  • Substituindo h=3 metros:
S(r)=2\pi r\cdot 3 + 4\pi r^2.
  • Simplificando:
S(r)=6\pi r + 4\pi r^2.
  • Podemos também factorizar, se quiser uma forma alternativa:
S(r)=2\pi r(3+2r).
  • Observação final: r>0 e a unidade de S(r) é metros quadrados.

Resposta

S(r)=6\pi r+4\pi r^2

Exercícios relacionados