Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função definida por partes
Informações dadas e o que é preciso produzir:
- Há duas expressões diferentes dependendo do sinal de
: uma reta para e um polinômio quadrático para . - Precisa-se desenhar os dois ramos no mesmo plano, indicar pontos importantes (valores em
, interceptos, comportamento quando , etc.), e marcar se os pontos em são incluídos (ponto fechado) ou não (ponto aberto).]
Passo 2
Análise do ramo quadrático para
: estudar forma, raízes, vértice e comportamento.
- A função é
para . - Raízes: resolver
. Aplicando a fórmula quadrática ou fatorando:
portanto as raízes são
e
. Observação importante: ambas as raízes são maiores que zero, logo para o ramo
a função nunca zera (o ramo fica sempre com sinal positivo).
- Vértice: a abscissa do vértice é
. Esse vértice também fica em , ou seja, fora da parte do domínio . Conclusão: no intervalo vemos apenas o “ramo esquerdo” da parábola aberta para cima, sem o mínimo visível aí. - Valor em
(limite pela esquerda): calcular . Como essa expressão vale em , o ramo quadrático aproxima-se de quando . Como a definição do ramo é apenas para , em esse ponto será um círculo aberto (se houver outro valor definido em , veremos depois). - Comportamento quando
: como é uma parábola com coeficiente líder positivo, quando . Logo, à esquerda a curva sobe para . - Derivada (pendente local):
. Para , , então a derivada é negativa nessa região: isto significa que, à medida que aumenta dentro de (isto é, indo de valores muito negativos para zero), está decrescendo até atingir em .
Passo 3
Calcular pontos de amostra no ramo quadrático (para orientar o esboço).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Esses pontos mostram que, para
, a curva está acima de
, decrescendo ao aproximar-se de
e com valores grandes para
negativos.
Passo 4
Análise do ramo linear para
: forma, coeficiente angular, interceptos e valores-chave.
- A função é
para . - Coeficiente angular: o coeficiente é
(reta com inclinação positiva bastante íngreme). - Valor em
(ponto do ramo): . Como pertence a este ramo ( ), o ponto é ponto fechado (incluído). - Intercepto com o eixo
: resolver . Assim a reta cruza o eixo em . - Valor em
: . Valor em : — útil para comparar com o valor limite da parábola.
Passo 5
Continuidade em
e tipo de descontinuidade:
- Limite pela esquerda:
. - Valor em
(pela definição da função, ramo da reta): . - Como
, a função é descontínua em . Especificamente, é uma descontinuidade tipo salto (jump): o ramo esquerdo tende a e o ramo direito está em . - No gráfico, isso se representa por um círculo aberto em
(o limite esquerdo não pertence ao ponto na definição) e um ponto fechado em .
Passo 6
Resumo do comportamento geral para orientar o esboço:
- Para
: desenhar o ramo esquerdo da parábola . Ele: - Está sempre positivo nessa região,
- Decresce quando
aumenta (de grandes valores positivos para valores próximos a ao aproximar-se de ), - Tem um ponto aberto em
.
- Em
: há um ponto fechado pertencente ao ramo linear. - Para
: desenhar a reta partindo do ponto com inclinação ; ela cruza o eixo em e passa por , , etc. - Não há interseção entre os dois ramos no intervalo em que ambos estariam válidos, porque o ramo quadrático só existe para
e o ponto em que seria igual a ocorrem para e , ambos fora de ; portanto os dois ramos não se encontram no domínio atribuído.
Passo 7
Instruções práticas para esboçar o gráfico no papel (passo a passo):
- Faça eixos
e e marque a origem . - Marque o ponto fechado
— é o início da reta. - Desenhe a reta
para . Use dois pontos, por exemplo e , e ligue-os com uma linha reta seccionada apenas para . - Para o ramo da parábola (somente
): - Marque os pontos de amostra calculados:
, , . - Marque um círculo aberto em
. - Desenhe a curva suave da parábola à esquerda de
, lembrando que ela sobe para quando e desce até o ponto aberto em .
- Marque os pontos de amostra calculados:
- Verifique visualmente que não existe conexão entre o ponto aberto
e o ponto fechado — há um salto vertical.
Passo 8
Observações finais úteis para a prova (dicas rápidas):
- Sempre verifique qual ramo inclui
para saber se o ponto em é aberto ou fechado. - Para funções definidas por partes, calcule limites laterais em pontos de troca de definição para identificar continuidade ou salto.
- Para o esboço rápido sem calculadora, basta três pontos bem escolhidos por ramo (incluindo valores em torno da fronteira) e as informações sobre inclinação e sinais da função.
Resposta
O gráfico consiste em dois ramos:
- Para
: o ramo esquerdo da parábola , que tende a quando e aproxima-se de quando ; em esse ramo tem um ponto aberto em . - Para
: a reta começando no ponto fechado e com inclinação , cruzando o eixo em .