Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f) f(x)= \begin{cases}4 x-3, & \text { se } x \geq 0 \\\ x^{2}-3 x+2, & \text { se } x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 4x-3, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] x^{2}-3x+2, & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas e o que é preciso produzir:
  • Há duas expressões diferentes dependendo do sinal de x: uma reta para x\ge 0 e um polinômio quadrático para x<0.
  • Precisa-se desenhar os dois ramos no mesmo plano, indicar pontos importantes (valores em x=0, interceptos, comportamento quando x\to-\infty, etc.), e marcar se os pontos em x=0 são incluídos (ponto fechado) ou não (ponto aberto).]

Passo 2

Análise do ramo quadrático para x<0: estudar forma, raízes, vértice e comportamento.
  • A função é \,g(x)=x^{2}-3x+2 para x<0.
  • Raízes: resolver \,x^{2}-3x+2=0. Aplicando a fórmula quadrática ou fatorando:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
portanto as raízes são \,x=1 e \,x=2. Observação importante: ambas as raízes são maiores que zero, logo para o ramo x<0 a função nunca zera (o ramo fica sempre com sinal positivo).
  • Vértice: a abscissa do vértice é \,x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2\cdot1}=\dfrac{3}{2}=1{,}5. Esse vértice também fica em x>0, ou seja, fora da parte do domínio x<0. Conclusão: no intervalo x<0 vemos apenas o “ramo esquerdo” da parábola aberta para cima, sem o mínimo visível aí.
  • Valor em x=0 (limite pela esquerda): calcular \,g(0)=0^{2}-3\cdot0+2=2. Como essa expressão vale 2 em x=0, o ramo quadrático aproxima-se de 2 quando x\to0^{-}. Como a definição do ramo é apenas para x<0, em x=0 esse ponto será um círculo aberto (se houver outro valor definido em x=0, veremos depois).
  • Comportamento quando x\to-\infty: como é uma parábola com coeficiente líder positivo, \,g(x)\to+\infty quando x\to-\infty. Logo, à esquerda a curva sobe para +\infty.
  • Derivada (pendente local): \,g'(x)=2x-3. Para x<0, 2x-3< -3, então a derivada é negativa nessa região: isto significa que, à medida que x aumenta dentro de x<0 (isto é, indo de valores muito negativos para zero), g(x) está decrescendo até atingir 2 em x\to0^{-}.

Passo 3

Calcular pontos de amostra no ramo quadrático (para orientar o esboço).
  • Em x=-1:
g(-1)=(-1)^{2}-3(-1)+2=1+3+2=6.
  • Em x=-2:
g(-2)=4-3(-2)+2=4+6+2=12.
  • Em x=-0{,}5:
g(-0{,}5)=(-0{,}5)^{2}-3(-0{,}5)+2=0{,}25+1{,}5+2=3{,}75.
Esses pontos mostram que, para x<0, a curva está acima de 2, decrescendo ao aproximar-se de x=0 e com valores grandes para x negativos.

Passo 4

Análise do ramo linear para x\ge 0: forma, coeficiente angular, interceptos e valores-chave.
  • A função é \,h(x)=4x-3 para x\ge 0.
  • Coeficiente angular: o coeficiente é \,4 (reta com inclinação positiva bastante íngreme).
  • Valor em x=0 (ponto do ramo): \,h(0)=4\cdot0-3=-3. Como x=0 pertence a este ramo ( x\ge 0), o ponto (0,-3) é ponto fechado (incluído).
  • Intercepto com o eixo x: resolver 4x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}=0{,}75. Assim a reta cruza o eixo x em x=0{,}75.
  • Valor em x=1: h(1)=4\cdot1-3=1. Valor em x=1{,}25: h(1{,}25)=4\cdot1{,}25-3=2 — útil para comparar com o valor limite da parábola.

Passo 5

Continuidade em x=0 e tipo de descontinuidade:
  • Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}(x^{2}-3x+2)=2.
  • Valor em x=0 (pela definição da função, ramo da reta): f(0)=4\cdot0-3=-3.
  • Como \displaystyle\lim_{x\to0^{-}}f(x)=2\neq f(0)=-3, a função é descontínua em x=0. Especificamente, é uma descontinuidade tipo salto (jump): o ramo esquerdo tende a 2 e o ramo direito está em -3.
  • No gráfico, isso se representa por um círculo aberto em (0,2) (o limite esquerdo não pertence ao ponto x=0 na definição) e um ponto fechado em (0,-3).

Passo 6

Resumo do comportamento geral para orientar o esboço:
  • Para x<0: desenhar o ramo esquerdo da parábola \,y=x^{2}-3x+2. Ele:
    • Está sempre positivo nessa região,
    • Decresce quando x aumenta (de grandes valores positivos para valores próximos a 2 ao aproximar-se de 0),
    • Tem um ponto aberto em (0,2).
  • Em x=0: há um ponto fechado (0,-3) pertencente ao ramo linear.
  • Para x\ge 0: desenhar a reta \,y=4x-3 partindo do ponto (0,-3) com inclinação 4; ela cruza o eixo x em x=0{,}75 e passa por (1,1), (1{,}25,2), etc.
  • Não há interseção entre os dois ramos no intervalo em que ambos estariam válidos, porque o ramo quadrático só existe para x<0 e o ponto em que x^{2}-3x+2 seria igual a 4x-3 ocorrem para x\approx0{,}8075 e x\approx6{,}1925, ambos fora de x<0; portanto os dois ramos não se encontram no domínio atribuído.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar o gráfico no papel (passo a passo):
  1. Faça eixos x e y e marque a origem O=(0,0).
  2. Marque o ponto fechado (0,-3) — é o início da reta.
  3. Desenhe a reta y=4x-3 para x\ge 0. Use dois pontos, por exemplo (0,-3) e (1,1), e ligue-os com uma linha reta seccionada apenas para x\ge 0.
  4. Para o ramo da parábola (somente x<0):
    • Marque os pontos de amostra calculados: (-2,12), (-1,6), (-0{,}5,3{,}75).
    • Marque um círculo aberto em (0,2).
    • Desenhe a curva suave da parábola à esquerda de x=0, lembrando que ela sobe para +\infty quando x\to-\infty e desce até o ponto aberto em (0,2).
  5. Verifique visualmente que não existe conexão entre o ponto aberto (0,2) e o ponto fechado (0,-3) — há um salto vertical.

Passo 8

Observações finais úteis para a prova (dicas rápidas):
  • Sempre verifique qual ramo inclui x=0 para saber se o ponto em x=0 é aberto ou fechado.
  • Para funções definidas por partes, calcule limites laterais em pontos de troca de definição para identificar continuidade ou salto.
  • Para o esboço rápido sem calculadora, basta três pontos bem escolhidos por ramo (incluindo valores em torno da fronteira) e as informações sobre inclinação e sinais da função.

Resposta

O gráfico consiste em dois ramos:
  • Para x<0: o ramo esquerdo da parábola y=x^{2}-3x+2, que tende a +\infty quando x\to-\infty e aproxima-se de 2 quando x\to0^{-}; em x=0 esse ramo tem um ponto aberto em (0,2).
  • Para x\ge 0: a reta y=4x-3 começando no ponto fechado (0,-3) e com inclinação 4, cruzando o eixo x em x=\tfrac{3}{4}.

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