Converter para a função com valor absoluto usando a relação geral \left|h(x)\right|=h(x)\) quando \(h(x)\ge0\) e \(\left|h(x)\right|=-h(x)\) quando \(h(x)\le0\). Aplicando a \(g(x)\):
\[f(x)=\left|x^{2}-4x+3\right|= \begin{cases} x^{2}-4x+3, & \text{se } x\le 1 \text{ ou } x\ge 3,\\[4pt] -(x^{2}-4x+3), & \text{se } 1\le x\le 3. \end{cases}
Nos pontos x=1\] e \(x=3 ambas as expressões dão 0, então as peças se encaixam de forma contínua.]
Passo 6
Interpretar geometricamente cada peça:
Para x\le 1 e x\ge 3 o gráfico é a parábola original g(x)=x^{2}-4x+3, que abre para cima. Essa parabola tem mínimo -1 em x=2, mas esse mínimo não aparece nessas regiões externas porque x=2 está dentro (1,3).
Para 1\le x\le 3 o gráfico é -g(x)=-x^{2}+4x-3, que é uma parábola que abre para baixo (porque coeficiente de x^2 é -1). Essa parte é o “reflexo” da porção negativa da parábola original acima do eixo x.
Pontos úteis para desenhar: (0,3), (1,0), (2,1), (3,0), (4,3). A função é simétrica em relação à reta x=2 (eixo de simetria da parábola original).
Passo 7
Comportamento e suavidade:
Para x\to\pm\infty, f(x)\approx x^{2} (já que o valor absoluto não altera o crescimento quadrático), então os ramos extremos sobem para +\infty.
A função é contínua em todo \mathbb{R} (valor absoluto preserva continuidade).
Em x=1 e x=3 há cantos (mudança brusca de inclinação): o lado externo usa a derivada de g e o lado interno usa a derivada de -g, que são opostas nesses pontos, logo f não é diferenciável em x=1 e x=3. Exemplificando, g'(x)=2x-4 dá g'(1)=-2 e para a parte interna a derivada é -g'(1)=2; as derivadas laterais não coincidem.
Passo 8
Modo prático de esboçar (passo-a-passo para desenhar no papel sem calculadora):
Marcar o eixo de simetria x=2.
Marcar os zeros (1,0) e (3,0).
Marcar o vértice resultante do valor absoluto no centro: (2,1) (máximo da peça invertida).
Marcar pontos adicionais simétricos como (0,3) e (4,3).
Desenhar a curva que para x\le1 segue a parábola que abre para cima passando por (0,3) e tocando o eixo em (1,0).
Entre 1 e 3 desenhar a parábola invertida que atinge seu máximo em (2,1) e volta a zero em (3,0).
Para x\ge3 continuar com o ramo da parábola que abre para cima passando por (4,3).
Verificar que a função é contínua mas possui cantos em x=1 e x=3.
Passo 9
Pequena verificação numérica final: calcular f(0),f(1),f(2),f(3),f(4) para confirmar o traçado:
Esses pontos confirmam a forma descrita: dois ramos exteriores ascendentes (parábola para cima) e uma “barriga” invertida entre 1 e 3 com máximo em 1.
Resposta
Esboço: função com zeros em (1,0) e (3,0); para x\le 1 e x\ge 3 segue a parábola x^{2}-4x+3 (abre para cima); para 1\le x\le 3 segue a parábola invertida -x^{2}+4x-3 (abre para baixo) com máximo em (2,1). Pontos úteis: (0,3),(1,0),(2,1),(3,0),(4,3). A função é contínua em todo \mathbb{R} e não é diferenciável em x=1 e x=3.