Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
d) f(x)=\left|x^{2}-4 x+3\right|

Passo 1

O enunciado pede para fazer o esboço do gráfico da função f(x)=\left|x^{2}-4x+3\right|.
Informações relevantes que já temos (a partir do enunciado):
  • A expressão dentro do valor absoluto é o polinômio quadrático x^{2}-4x+3.
  • Precisamos descobrir onde essa quadrática é positiva, negativa ou zero, e como o valor absoluto altera o gráfico dessa quadrática.
  • Pontos úteis a achar: raízes (zeros), vértice da parábola original, intercepto com o eixo y e comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 2

Fatorar a quadrática para achar as raízes. Vou fatorar x^{2}-4x+3:
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3).
Das fatorações segue que as raízes são \,x=1 e \,x=3. Em ambos esses pontos a quadrática vale zero:
x^{2}-4x+3=0 \quad\text{para}\quad x=1,3.

Passo 3

Achar o vértice da parábola g(x)=x^{2}-4x+3. Uso a fórmula da abscissa do vértice para uma quadrática ax^{2}+bx+c:
x_{\text{v}} = -\frac{b}{2a}.
Aqui a=1 e b=-4, então
x_{\text{v}} = -\frac{-4}{2\cdot1} = 2.
Agora o valor em x=2:
g(2)=2^{2}-4\cdot2+3=4-8+3=-1.
Logo o vértice da parábola g é o ponto (2,-1).
Também é útil escrever a forma completando o quadrado:
x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1.
Isso confirma que o mínimo da parabola g acontece em x=2 com valor -1.

Passo 4

Determinar os sinais de g(x)=x^{2}-4x+3. Como g(x)=(x-1)(x-3), temos:
  • Para x<1: ambos fatores (x-1) e (x-3) são negativos e positivos? Testar um ponto, por exemplo x=0: g(0)=3>0. Então para x<1 a quadrática é positiva.
  • Para 1<x<3: escolher x=2 g(2)=-1<0. Então entre 1 e 3 é negativa.
  • Para x>3: escolher x=4 g(4)=3>0. Então para x>3 é positiva.
Resumo dos sinais:
g(x)\ge 0 \quad\text{se}\quad x\le 1\\ \text{ou}\\ x\ge 3, \qquad g(x)\le 0 \quad\text{se}\quad 1\le x\le 3.

Passo 5

Converter para a função com valor absoluto usando a relação geral \left|h(x)\right|=h(x)\) quando \(h(x)\ge0\) e \(\left|h(x)\right|=-h(x)\) quando \(h(x)\le0\). Aplicando a \(g(x)\): \[f(x)=\left|x^{2}-4x+3\right|= \begin{cases} x^{2}-4x+3, & \text{se } x\le 1 \text{ ou } x\ge 3,\\[4pt] -(x^{2}-4x+3), & \text{se } 1\le x\le 3. \end{cases}
Nos pontos x=1\] e \(x=3 ambas as expressões dão 0, então as peças se encaixam de forma contínua.]

Passo 6

Interpretar geometricamente cada peça:
  • Para x\le 1 e x\ge 3 o gráfico é a parábola original g(x)=x^{2}-4x+3, que abre para cima. Essa parabola tem mínimo -1 em x=2, mas esse mínimo não aparece nessas regiões externas porque x=2 está dentro (1,3).
  • Para 1\le x\le 3 o gráfico é -g(x)=-x^{2}+4x-3, que é uma parábola que abre para baixo (porque coeficiente de x^2 é -1). Essa parte é o “reflexo” da porção negativa da parábola original acima do eixo x.
Calcular alguns pontos-chave para traçar:
f(1)=\left|1^{2}-4\cdot1+3\right|=0, \qquad f(3)=0.
f(2)=\left|2^{2}-4\cdot2+3\right|=\left|-1\right|=1.
Intercepto com eixo y:
f(0)=\left|0^{2}-0+3\right|=3.
Valor simétrico em x=4:
f(4)=\left|4^{2}-16+3\right|=3.
Pontos úteis para desenhar: (0,3), (1,0), (2,1), (3,0), (4,3). A função é simétrica em relação à reta x=2 (eixo de simetria da parábola original).

Passo 7

Comportamento e suavidade:
  • Para x\to\pm\infty, f(x)\approx x^{2} (já que o valor absoluto não altera o crescimento quadrático), então os ramos extremos sobem para +\infty.
  • A função é contínua em todo \mathbb{R} (valor absoluto preserva continuidade).
  • Em x=1 e x=3 há cantos (mudança brusca de inclinação): o lado externo usa a derivada de g e o lado interno usa a derivada de -g, que são opostas nesses pontos, logo f não é diferenciável em x=1 e x=3. Exemplificando, g'(x)=2x-4 g'(1)=-2 e para a parte interna a derivada é -g'(1)=2; as derivadas laterais não coincidem.

Passo 8

Modo prático de esboçar (passo-a-passo para desenhar no papel sem calculadora):
  1. Marcar o eixo de simetria x=2.
  2. Marcar os zeros (1,0) e (3,0).
  3. Marcar o vértice resultante do valor absoluto no centro: (2,1) (máximo da peça invertida).
  4. Marcar pontos adicionais simétricos como (0,3) e (4,3).
  5. Desenhar a curva que para x\le1 segue a parábola que abre para cima passando por (0,3) e tocando o eixo em (1,0).
  6. Entre 1 e 3 desenhar a parábola invertida que atinge seu máximo em (2,1) e volta a zero em (3,0).
  7. Para x\ge3 continuar com o ramo da parábola que abre para cima passando por (4,3).
  8. Verificar que a função é contínua mas possui cantos em x=1 e x=3.

Passo 9

Pequena verificação numérica final: calcular f(0),f(1),f(2),f(3),f(4) para confirmar o traçado:
f(0)=3,\quad f(1)=0,\quad f(2)=1,\quad f(3)=0,\quad f(4)=3.
Esses pontos confirmam a forma descrita: dois ramos exteriores ascendentes (parábola para cima) e uma “barriga” invertida entre 1 e 3 com máximo em 1.

Resposta

Esboço: função com zeros em (1,0) e (3,0); para x\le 1 e x\ge 3 segue a parábola x^{2}-4x+3 (abre para cima); para 1\le x\le 3 segue a parábola invertida -x^{2}+4x-3 (abre para baixo) com máximo em (2,1). Pontos úteis: (0,3),(1,0),(2,1),(3,0),(4,3). A função é contínua em todo \mathbb{R} e não é diferenciável em x=1 e x=3.

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