Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
c) f(x)=2 x+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=2x+x^{2}.
Informações fornecidas diretamente da função:
  • A função é f(x)=x^{2}+2x.
  • Coeficientes: a=1, b=2, c=0.
    O que se quer no final: um esboço (desenho aproximado) do gráfico, com os pontos-chave identificados para poder rabiscar a parábola na prova.

Passo 2

Encontrar os zeros (raízes) e o intercepto com o eixo y — são pontos que ajudam MUITO no esboço.
Fatorando:
f(x)=x^{2}+2x=x(x+2).
Portanto os zeros são as soluções de x(x+2)=0, ou seja:
  • x=0 e x=-2.
O intercepto com o eixo y é f(0). Como f(0)=0, o ponto é (0,0). Note que neste caso um dos zeros coincide com o intercepto em y.

Passo 3

Calcular o vértice da parábola (ponto de mínimo ou máximo). Para uma quadrática f(x)=ax^{2}+bx+c o x-do-vértice vale
x_v=-\frac{b}{2a}.
Aplicando aqui ( a=1, b=2):
x_v=-\frac{2}{2\cdot1}=-1.
Agora calculo y_v=f(x_v)=f(-1):
f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)=1-2=-1.
Logo o vértice é o ponto (-1,-1). Esse será o ponto mínimo porque a>0.

Passo 4

Determinar concavidade e comportamento assintótico (como a curva se comporta longe da origem).
Derivadas para interpretar rampa e curvatura:
f'(x)=2x+2, \qquad f''(x)=2.
Como f''(x)=2>0 para todo x, a parábola é côncava para cima (forma de “U”) e o vértice (-1,-1) é um mínimo global.
Quanto ao comportamento para x\to\pm\infty:
  • Como a=1>0, tem-se f(x)\to+\infty quando x\to+\infty e também f(x)\to+\infty quando x\to-\infty.

Passo 5

Escolher alguns pontos adicionais para desenhar com simetria em relação ao eixo do vértice (linha x=-1) e confirmar a forma.
Calculo de pontos simétricos:
  • Para x=1: f(1)=1^{2}+2\cdot1=1+2=3. Ponto (1,3).
  • Pelo eixo de simetria x=-1, o ponto simétrico a x=1 é x=-3. Verifico: f(-3)=(-3)^{2}+2(-3)=9-6=3.Ponto (-3,3).
  • Outro par: x=2 f(2)=4+4=8 e x=-4 também dá 8.
Esses pares (1,3) e (-3,3), (2,8) e (-4,8) mostram claramente a simetria em torno de x=-1.

Passo 6

Resumo do que marcar no esboço e como desenhar passo a passo (para fazer rápido na prova):
  1. Marcar os zeros: (-2,0) e (0,0).
  2. Marcar o vértice: (-1,-1).
  3. Traçar a reta eixo de simetria x=-1 como linha pontilhada (opcional).
  4. Marcar mais um ou dois pares simétricos, por exemplo (1,3) e (-3,3), para fixar a forma.
  5. Desenhar uma curva em forma de “U” passando pelos pontos marcados, suave, com mínimo em (-1,-1) e subindo para +\infty para x\to\pm\infty.
Dica prática: com vértice e dois zeros já dá para desenhar uma parábola bem confiável; os pontos extras confirmam a largura/abertura.

Passo 7

Interpretação final em palavras (útil para responder rapidamente na prova): a função é uma parábola vertical com concavidade para cima, mínimo em (-1,-1), zeros em (-2,0) e (0,0), e cresce para +\infty quando x tende a +\infty ou a -\infty.

Resposta

Parábola com vértice em (-1,-1); zeros em (-2,0) e (0,0); concavidade para cima; f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.

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