Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações fornecidas diretamente da função:
Informações fornecidas diretamente da função:
- A função é
. - Coeficientes:
, , .
O que se quer no final: um esboço (desenho aproximado) do gráfico, com os pontos-chave identificados para poder rabiscar a parábola na prova.
Passo 2
Encontrar os zeros (raízes) e o intercepto com o eixo
— são pontos que ajudam MUITO no esboço.
Fatorando:
Portanto os zeros são as soluções de
, ou seja:
-
e .
O intercepto com o eixo
é
. Como
, o ponto é
. Note que neste caso um dos zeros coincide com o intercepto em
.
Passo 3
Calcular o vértice da parábola (ponto de mínimo ou máximo). Para uma quadrática
o
-do-vértice vale
Aplicando aqui (
,
):
Agora calculo
:
Logo o vértice é o ponto
. Esse será o ponto mínimo porque
.
Passo 4
Determinar concavidade e comportamento assintótico (como a curva se comporta longe da origem).
Derivadas para interpretar rampa e curvatura:
Como
para todo
, a parábola é côncava para cima (forma de “U”) e o vértice
é um mínimo global.
Quanto ao comportamento para
:
- Como
, tem-se quando e também quando .
Passo 5
Escolher alguns pontos adicionais para desenhar com simetria em relação ao eixo do vértice (linha
) e confirmar a forma.
Calculo de pontos simétricos:
- Para
: . Ponto . - Pelo eixo de simetria
, o ponto simétrico a é . Verifico: Ponto . - Outro par:
dá e também dá .
Esses pares
e
,
e
mostram claramente a simetria em torno de
.
Passo 6
Resumo do que marcar no esboço e como desenhar passo a passo (para fazer rápido na prova):
- Marcar os zeros:
e . - Marcar o vértice:
. - Traçar a reta eixo de simetria
como linha pontilhada (opcional). - Marcar mais um ou dois pares simétricos, por exemplo
e , para fixar a forma. - Desenhar uma curva em forma de “U” passando pelos pontos marcados, suave, com mínimo em
e subindo para para .
Dica prática: com vértice e dois zeros já dá para desenhar uma parábola bem confiável; os pontos extras confirmam a largura/abertura.
Passo 7
Interpretação final em palavras (útil para responder rapidamente na prova): a função é uma parábola vertical com concavidade para cima, mínimo em
, zeros em
e
, e cresce para
quando
tende a
ou a
.
Resposta
Parábola com vértice em
; zeros em
e
; concavidade para cima;
quando
.