Faça o esboço do gráfico da seguintes funções:
Passo 1
Temos a função definida por partes
O conteúdo aqui é gráfico de função por partes envolvendo reta e parábola. Vamos esboçar cada ramo e depois juntar.
Passo 2
Ramo parabólico (x<0): f(x)=x^2-3x+2.
• Fatorando temos f(x)=(x-1)(x-2), cujas raízes são x=1 e x=2, mas como consideramos só x<0, não aparecem interceptos no domínio.
• A parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo). O vértice está em x_v=\tfrac{3}{2}, fora da região x<0. Para x<0, estamos antes do vértice, então à medida que x aumenta em (−∞,0), f(x) decresce.
• Quando x→−∞, f(x)→+∞. Em x=0− temos f(0−)=0^2−3·0+2=2. Então no ponto (0,2) fica um círculo aberto.
• Fatorando temos f(x)=(x-1)(x-2), cujas raízes são x=1 e x=2, mas como consideramos só x<0, não aparecem interceptos no domínio.
• A parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo). O vértice está em x_v=\tfrac{3}{2}, fora da região x<0. Para x<0, estamos antes do vértice, então à medida que x aumenta em (−∞,0), f(x) decresce.
• Quando x→−∞, f(x)→+∞. Em x=0− temos f(0−)=0^2−3·0+2=2. Então no ponto (0,2) fica um círculo aberto.
Passo 3
Ramo linear (x≥0): f(x)=4x−3.
• É uma reta de coeficiente angular 4 e intercepto em y=−3.
• Para x=0 temos f(0)=−3, então ponto fechado em (0,−3).
• Para x=1, f(1)=1; para x=2, f(2)=5. A reta cresce rápido a partir de (0,−3).
• É uma reta de coeficiente angular 4 e intercepto em y=−3.
• Para x=0 temos f(0)=−3, então ponto fechado em (0,−3).
• Para x=1, f(1)=1; para x=2, f(2)=5. A reta cresce rápido a partir de (0,−3).
Passo 4
Juntando os dois ramos vemos uma descontinuidade de salto em x=0:
• Do lado esquerdo o gráfico atinge y=2 sem incluir (círculo aberto em (0,2)).
• Do lado direito ele parte de (0,−3) (ponto fechado) e segue subindo com inclinação 4.
Então basta desenhar o ramo da parábola decrescente até (0,2) aberto e o raio da reta crescente a partir de (0,−3) fechado.
• Do lado esquerdo o gráfico atinge y=2 sem incluir (círculo aberto em (0,2)).
• Do lado direito ele parte de (0,−3) (ponto fechado) e segue subindo com inclinação 4.
Então basta desenhar o ramo da parábola decrescente até (0,2) aberto e o raio da reta crescente a partir de (0,−3) fechado.
Passo 5
O gráfico final é exatamente esse esboço combinado dos dois pedaços, mostrando a falta de conexão em x=0.
Resposta
Gráfico formado pelo ramo da parábola
para
, indo de
até o ponto aberto
, e pelo raio da reta
para
, saindo do ponto fechado
com inclinação 4.