Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer um esboço (desenho) do gráfico da função
.
Informações dadas no enunciado:
Não há figura anexa. Vamos usar somente essa expressão para construir o gráfico.
Passo 2
Entendendo a forma da função: a expressão
está na forma chamada “forma reduzida” ou “forma geral da reta”:
onde:
-
é a inclinação (slope) da reta; -
é o ponto de interseção com o eixo (y-intercept), ou seja, o valor de quando .
No nosso caso:
Significado prático:
-
significa que, ao andar 1 unidade para a direita no eixo , a função sobe 4 unidades no eixo (rise = 4, run = 1). -
significa que a reta cruza o eixo em .
Passo 3
Calcular os interceptos (pontos onde a reta cruza os eixos) — isso é muito útil para desenhar.
- Interseção com o eixo
: colocar .
logo o ponto é
.
- Interseção com o eixo
: colocar e resolver para .
Logo o ponto é
.
Esses dois pontos já são suficientes para traçar a reta.
Passo 4
Escolher mais alguns pontos para confirmar a inclinação e facilitar o esboço:
Calcule
e
passo a passo.
Para
:
ponto
.
Para
:
ponto
.
Verificação da inclinação entre dois pontos, por exemplo entre
e
:
confirma
.
Passo 5
Como fazer o esboço no papel sem calculadora (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e , marque uma escala (por exemplo, cada quadradinho = 1 unidade). - Marque o ponto
no eixo (três unidades abaixo da origem). - A partir de
, aplique a regra da inclinação: mover 1 unidade para a direita (x aumenta 1) e 4 unidades para cima (y aumenta 4) para chegar em . Marque esse ponto. - Desenhe a reta que passa por
e e continue em ambas as direções (reta infinita). - Como checagem, verifique que a reta também passa por
(um pouco antes de no eixo ).
Dica prática: desenhe pequenos “passos” de rise/run (subir 4, andar 1) repetidos para obter vários pontos alinhados, isso evita erros de escala.
Passo 6
Propriedades importantes do gráfico que ajudam na prova e na interpretação:
- Domínio: todos os reais, ou seja
, porque uma reta definida por dá valor para qualquer . - Imagem (contradomínio efetivo): todos os reais,
, porque com inclinação não nula a reta assume todos os valores reais. - A função é injetora (um-para-um) porque
. - A função inversa existe e é fácil de obter: resolver
para dá
portanto a inversa é
(isso é útil se pedirem reflexão no eixo
).
Passo 7
Interpretação geométrica e intuição rápida:
- Como
, a reta sobe da esquerda para a direita. - Como
é maior que , ela é relativamente inclinada (mais vertical que uma reta de inclinação ). - Os pontos que calculamos
ficam todos alinhados; ao desenhar, use-os como guia.
Resposta
Reta de equação
; interseção com o eixo
:
; interseção com o eixo
:
; inclinação
; domínio
; imagem
.