Determine
e os domínios das funções compostas em cada caso:
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções e pede as composições e os domínios:
- Foi dado
. - Foi dado
.
As perguntas são: - Determinar
. - Determinar
. - Determinar o domínio de cada função composta.
Passo 2
Definição importante (explicando como pensar na prova): a composição
significa que primeiro aplicamos
em
e depois aplicamos
no resultado. Em fórmula:
De modo análogo,
Regra de domínio para composições: o domínio de
é o conjunto dos
que pertencem ao domínio de
e tal que
pertence ao domínio de
. Em símbolos:
Agora identifiquemos os domínios das funções dadas:
é uma função polinomial (reta), logo está definida para todo
.
também está definida para todo
(a divisão por
não causa problema porque
). Portanto
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo (a ideia é substituir
na expressão de
):
Primeiro escrevo a definição de aplicada a
:
Primeiro escrevo a definição de
Substituo
:
Agora faço a distribuição do
(mostro cada passo para você poder reproduzir na prova):
porque os
se cancelam; e
. Assim
Somando o
que estava fora:
Portanto chegamos em
Interpretação didática: ao aplicar
e depois
voltamos ao próprio
. Isso é típico quando
é a inversa de
.
Passo 4
Agora calculamos
com os mesmos cuidados:
Escrevo aplicado a
:
Escrevo
Substituo
:
Para simplificar, separo a fração:
Então
Logo
Novamente obtemos a identidade
, confirmando que
e
são inversas uma da outra.
Passo 5
Determinação dos domínios das composições:
- Como mostramos no Passo 2,
e . - Pela regra do domínio de composição, para qualquer
temos e . Portanto não há restrição adicional.
Conclusão: os domínios dee de são ambos .