Determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x) e os domínios das funções compostas em cada caso:
f(x)=2 x+3, g(x)=\frac{x}{2}-\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções e pede as composições e os domínios:
  • Foi dado f(x)=2x+3.
  • Foi dado g(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}.
    As perguntas são:
  • Determinar (f\circ g)(x).
  • Determinar (g\circ f)(x).
  • Determinar o domínio de cada função composta.

Passo 2

Definição importante (explicando como pensar na prova): a composição (f\circ g)(x) significa que primeiro aplicamos g em x e depois aplicamos f no resultado. Em fórmula:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
De modo análogo,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Regra de domínio para composições: o domínio de f\circ g é o conjunto dos x que pertencem ao domínio de g e tal que g(x) pertence ao domínio de f. Em símbolos:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Agora identifiquemos os domínios das funções dadas: f(x)=2x+3 é uma função polinomial (reta), logo está definida para todo x\in\mathbb{R}. g(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2} também está definida para todo x\in\mathbb{R} (a divisão por 2 não causa problema porque 2\neq0). Portanto
\operatorname{dom}(f)=\mathbb{R},\qquad \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Vamos calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo (a ideia é substituir g(x) na expressão de f):
Primeiro escrevo a definição de f aplicada a g(x):
f\bigl(g(x)\bigr)=2\cdot g(x)+3.
Substituo g(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}:
f\bigl(g(x)\bigr)=2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}\right)+3.
Agora faço a distribuição do 2 (mostro cada passo para você poder reproduzir na prova): 2\cdot\dfrac{x}{2}=x porque os 2 se cancelam; e 2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-3. Assim
2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}\right)=x-3.
Somando o +3 que estava fora:
x-3+3=x.
Portanto chegamos em
(f\circ g)(x)=x.
Interpretação didática: ao aplicar g e depois f voltamos ao próprio x. Isso é típico quando g é a inversa de f.

Passo 4

Agora calculamos (g\circ f)(x)=g(f(x)) com os mesmos cuidados:
Escrevo g aplicado a f(x):
g\bigl(f(x)\bigr)=\dfrac{f(x)}{2}-\dfrac{3}{2}.
Substituo f(x)=2x+3:
g\bigl(f(x)\bigr)=\dfrac{2x+3}{2}-\dfrac{3}{2}.
Para simplificar, separo a fração:
\dfrac{2x+3}{2}=\dfrac{2x}{2}+\dfrac{3}{2}=x+\dfrac{3}{2}.
Então
x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=x.
Logo
(g\circ f)(x)=x.
Novamente obtemos a identidade x, confirmando que f e g são inversas uma da outra.

Passo 5

Determinação dos domínios das composições:
  • Como mostramos no Passo 2, \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R} e \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.
  • Pela regra do domínio de composição, para qualquer x\in\mathbb{R} temos g(x)\in\mathbb{R} e f(x)\in\mathbb{R}. Portanto não há restrição adicional.
    Conclusão: os domínios de (f\circ g) e de (g\circ f) são ambos \mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x, domínio \mathbb{R}
(g\circ f)(x)=x, domínio \mathbb{R}

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