Represente graficamente (na reta real) os seguintes conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado pede para representar graficamente, na reta real, o conjunto
Informações dadas:
- O primeiro conjunto é
. - O segundo conjunto é
. - Queremos a interseção (ou seja, todos os pontos que pertencem a ambos os conjuntos).
Passo 2
Vamos lembrar o que significam os símbolos usados (sem resolver ainda):
-
significa "todos os números reais menores que " — o não está incluído (círculo aberto). -
significa "todos os números reais maiores ou iguais a e menores que " — o está incluído (ponto fechado) e o não (círculo aberto). - A interseção
é o conjunto dos pontos que estão em e em ao mesmo tempo. Em termos de desigualdades: se e somente se as condições de e de forem satisfeitas simultaneamente.
Passo 3
Analisando o limite inferior da interseção:
-
não impõe limite inferior (aceita valores arbitrariamente pequenos). -
exige que .
Para estar em ambos,precisa satisfazer a condição mais restritiva na parte inferior, que é . Assim a interseção terá como limite à esquerda, e como pertence a , ele fica incluído (fechado).
Passo 4
Analisando o limite superior da interseção:
-
exige que . -
exige que .
Para estar em ambos,precisa satisfazer a condição mais restritiva na parte superior, que é . Como não inclui , o ponto não pertence à interseção (ficará aberto).
Passo 5
Combinando as conclusões dos Passos 3 e 4, a interseção é o conjunto de todos os
tais que
Em notação de intervalo isso é
Também podemos escrever em notação de compreensão:
Passo 6
Como representar graficamente na reta real:
- Desenhe uma reta horizontal e marque os pontos
e . - Em
desenhe um ponto preenchido (●) indicando que está incluído. - Em
desenhe um círculo aberto (○) indicando que não está incluído. - Sombree (ou trace uma linha) entre esses dois pontos para indicar todos os valores entre
e .
Isso representa exatamente o intervalo.