Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função definida por partes
Informações dadas:
- A função é definida por partes com uma fórmula para
e outra para . - O parâmetro é
. - A expressão
só faz sentido quando , ou seja, é usada para (o enunciado já impôs isso).
O que se pede: um esboço (desenho qualitativo) do gráfico, destacando comportamento, continuidade, monotonicidade e forma da curva.]
Passo 2
Domínio e valores óbvios.
- Para
a definição dá , logo a função está definida em todo . - Para
usa-se . Como , a função é definida para e . Portanto a peça está bem definida para .
Conclusão: o domínio deé todo .
Passo 3
Valor nos pontos
e continuidade.
- Calcular
:
- Igualmente
. - À esquerda de
(isto é, para com ) temos . À direita de (com ) a expressão tende a . Portanto é contínua em . Mesma argumentação para .
Resumo: não há salto em; o valor na fronteira é .
Passo 4
Simetria da função (paridade).
A função depende apenas de . Logo, para todo
,
A função depende apenas de
Isto significa que
é uma função par. Para desenhar o gráfico basta estudar
e espelhar para
.
Passo 5
Comportamento em
.
Para vale
. Então no intervalo
a função é a reta horizontal
(intervalo fechado em
e
na peça da direita, mas a definição dá exatamente zero em todo
visto que os extremos também têm valor
).
Para
Passo 6
Análise para
. Defino
com
e consider o auxiliar
Vou estudar monotonicidade usando derivada (a conta passo a passo).
- Escrever
(porque e pois ). - Então
. - Derivando com regra da cadeia e produto:
- Observação: para
temos , logo .
Conclusão:(e portanto para ) é estritamente crescente.
Passo 7
Comportamento próximo de
(i.e.,
).
- Para
muito próximo de vale a aproximação (primeiro termo da expansão com ). - Assim, para
,
- Isso mostra que
cresce como a raiz quadrada de a partir de zero: forma de biquinha (aproximação tipo ). - Pela expressão da derivada
, nota-se que quando temos , então . Em termos de gráfico, a curva sai de muito íngreme — a tangente é vertical no sentido de derivada que explode (não há derivada finita igual a número real em pela peça direita). Portanto a transição do trecho horizontal para a curva é abrupta, com a curva subindo rapidamente logo após .
Passo 8
Comportamento quando
(i.e.,
).
- Usando a forma
, quando temos e portanto . - O crescimento é muito lento (grows like
). Em particular, é não limitada, mas cresce devagar. - A derivada
tende a quando , o que indica que a curva vai ficando cada vez mais suave e “achatada” (declive tende a zero).
Passo 9
Concavidade da curva para
.
- Podemos verificar o sinal da segunda derivada para conhecer a curvatura. Partindo de
derivando novamente (fazendo a conta com calma):
Calcular a derivada interna:
Isso é negativo para todo
. Assim
para
: a função é côncava para baixo no ramo
.
Interpretação: a curva sobe rapidamente logo após e depois vai subindo cada vez mais devagar, com curvatura para baixo.
Interpretação: a curva sobe rapidamente logo após
Passo 10
Resumo geométrico e instruções para o esboço (como desenhar).
- Traçar o eixo
e o eixo . - Marcar os pontos
, e . - No segmento
desenhar a linha horizontal (o gráfico está exatamente nessa linha). Marcar que em o valor é (pontos incluídos). - Para
: - A partir do ponto
desenhar uma curva que sobe muito íngreme imediatamente à direita de (tangente aproximadamente vertical ao sair de ), depois vai ficando cada vez menos inclinada, subindo indefinidamente de forma lenta e côncava para baixo. - A curva corresponde a
.
- A partir do ponto
- Para
: espelhar exatamente o ramo de em relação ao eixo (porque é par). Assim há uma curva idêntica saindo de para a esquerda, subindo em módulo para . - Pontos de referência numéricos (úteis para o esboço): escolher
como exemplo para visualizar Esses números mostram que para crescer muito, cresce, mas devagar. - Não há assíntotas horizontais finitas:
quando . Não há descontinuidade nem valor infinito no interior.
Passo 11
Observações finais e interpretação intuitiva (um empurrãozinho motivador).
- Visualize o gráfico como uma barra horizontal no meio (
a em ) e duas “ramificações” simétricas saindo de que sobem rapidamente no começo e depois se aplainam, continuando a subir indefinidamente. - Se estiver nervoso na prova: desenhe primeiro o segmento
em , marque e , e depois trace a curva para lembrando que ela é crescente e côncava para baixo, com derivada que diverge ao sair de .
Resposta
- Função par; domínio
. -
para e . - Para
temos , que é estritamente crescente em , côncava para baixo e com derivada que tende a ao aproximar-se de pela direita (saída íngreme), e cuja inclinação tende a quando . - Esboço: segmento horizontal
em e duas curvas simétricas saindo de , subindo rapidamente logo após e depois suavemente para cima, sem limite superior.