Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & |x|<1 \\\ \sqrt{\log _{a}|x|} & \text { se } & |x| \geq 1, a>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 0 & \text{se } |x|<1,\\[4pt] \sqrt{\log_{a}|x|} & \text{se } |x|\ge 1,\quad a>1. \end{cases}
Informações dadas:
  • A função é definida por partes com uma fórmula para |x|<1 e outra para |x|\ge 1.
  • O parâmetro é a>1.
  • A expressão \sqrt{\log_{a}|x|} só faz sentido quando \log_{a}|x|\ge 0, ou seja, é usada para |x|\ge 1 (o enunciado já impôs isso).
    O que se pede: um esboço (desenho qualitativo) do gráfico, destacando comportamento, continuidade, monotonicidade e forma da curva.]

Passo 2

Domínio e valores óbvios.
  • Para |x|<1 a definição dá f(x)=0, logo a função está definida em todo (-1,1).
  • Para |x|\ge 1 usa-se \sqrt{\log_{a}|x|}. Como a>1, a função \log_{a}t é definida para t>0 e \log_{a}1=0. Portanto a peça \sqrt{\log_{a}|x|} está bem definida para |x|\ge1.
    Conclusão: o domínio de f é todo \mathbb{R}.

Passo 3

Valor nos pontos x=\pm1 e continuidade.
  • Calcular f(1):
f(1)=\sqrt{\log_{a}|1|}=\sqrt{\log_{a}1}=\sqrt{0}=0.
  • Igualmente f(-1)=0.
  • À esquerda de 1 (isto é, para x\to1^{-} com |x|<1) temos f(x)=0. À direita de 1 (com |x|>1) a expressão tende a \sqrt{\log_{a}1}=0. Portanto f é contínua em x=1. Mesma argumentação para x=-1.
    Resumo: não há salto em x=\pm1; o valor na fronteira é 0.

Passo 4

Simetria da função (paridade).
A função depende apenas de |x|. Logo, para todo x,
f(-x)=f(x).
Isto significa que f é uma função par. Para desenhar o gráfico basta estudar x\ge 0 e espelhar para x<0.

Passo 5

Comportamento em [0,1).
Para 0\le x<1 vale f(x)=0. Então no intervalo [-1,1] a função é a reta horizontal y=0 (intervalo fechado em -1 e 1 na peça da direita, mas a definição dá exatamente zero em todo -1\le x\le1 visto que os extremos também têm valor 0).

Passo 6

Análise para x>1. Defino t=|x| com t>1 e consider o auxiliar
g(t)=\sqrt{\log_{a}t},\qquad t\ge 1.
Vou estudar monotonicidade usando derivada (a conta passo a passo).
  • Escrever \log_{a}t=\dfrac{\ln t}{\ln a} (porque \log_{a}t=\dfrac{\ln t}{\ln a} e \ln a>0 pois a>1).
  • Então g(t)=\dfrac{\sqrt{\ln t}}{\sqrt{\ln a}}.
  • Derivando com regra da cadeia e produto:
g'(t)=\frac{1}{\sqrt{\ln a}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\ln t}}\cdot\frac{1}{t}=\frac{1}{2\,t\,\sqrt{\ln a}\,\sqrt{\ln t}}.
  • Observação: para t>1 temos \ln t>0, logo g'(t)>0.
    Conclusão: g (e portanto f para x>1) é estritamente crescente.

Passo 7

Comportamento próximo de t\searrow 1 (i.e., x\to 1^{+}).
  • Para t muito próximo de 1 vale a aproximação \ln t \approx t-1 (primeiro termo da expansão \ln(1+u)\approx u com u=t-1).
  • Assim, para t\to1^{+},
g(t)=\sqrt{\frac{\ln t}{\ln a}}\approx\sqrt{\frac{t-1}{\ln a}}.
  • Isso mostra que g(t) cresce como a raiz quadrada de t-1 a partir de zero: forma de biquinha (aproximação tipo \sqrt{t-1}).
  • Pela expressão da derivada g'(t)=\dfrac{1}{2t\sqrt{\ln a}\sqrt{\ln t}}, nota-se que quando t\searrow1 temos \sqrt{\ln t}\to 0^{+}, então g'(t)\to +\infty. Em termos de gráfico, a curva sai de (1,0) muito íngreme — a tangente é vertical no sentido de derivada que explode (não há derivada finita igual a número real em 1 pela peça direita). Portanto a transição do trecho horizontal y=0 para a curva é abrupta, com a curva subindo rapidamente logo após x=1.

Passo 8

Comportamento quando t\to\infty (i.e., |x|\to\infty).
  • Usando a forma g(t)=\dfrac{\sqrt{\ln t}}{\sqrt{\ln a}}, quando t\to\infty temos \ln t\to\infty e portanto g(t)\to\infty.
  • O crescimento é muito lento (grows like \sqrt{\ln t}). Em particular, g é não limitada, mas cresce devagar.
  • A derivada g'(t)=\dfrac{1}{2t\sqrt{\ln a}\sqrt{\ln t}} tende a 0 quando t\to\infty, o que indica que a curva vai ficando cada vez mais suave e “achatada” (declive tende a zero).

Passo 9

Concavidade da curva para t>1.
  • Podemos verificar o sinal da segunda derivada para conhecer a curvatura. Partindo de
g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{\ln a}}\cdot\frac{1}{t\sqrt{\ln t}},
derivando novamente (fazendo a conta com calma):
g''(t)=\frac{1}{2\sqrt{\ln a}}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t\sqrt{\ln t}}\right).
Calcular a derivada interna:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t\sqrt{\ln t}}\right)=-\frac{1}{t^{2}\sqrt{\ln t}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}(\ln t)^{3/2}}.
Isso é negativo para todo t>1. Assim g''(t)<0 para t>1: a função é côncava para baixo no ramo t>1.
Interpretação: a curva sobe rapidamente logo após 1 e depois vai subindo cada vez mais devagar, com curvatura para baixo.

Passo 10

Resumo geométrico e instruções para o esboço (como desenhar).
  • Traçar o eixo x e o eixo y.
  • Marcar os pontos x=-1, x=0 e x=1.
  • No segmento -1<x<1 desenhar a linha horizontal y=0 (o gráfico está exatamente nessa linha). Marcar que em x=\pm1 o valor é 0 (pontos incluídos).
  • Para x>1:
    • A partir do ponto (1,0) desenhar uma curva que sobe muito íngreme imediatamente à direita de x=1 (tangente aproximadamente vertical ao sair de 1), depois vai ficando cada vez menos inclinada, subindo indefinidamente de forma lenta e côncava para baixo.
    • A curva corresponde a y=\sqrt{\log_{a}x}=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{\sqrt{\ln a}}.
  • Para x<-1: espelhar exatamente o ramo de x>1 em relação ao eixo y (porque f é par). Assim há uma curva idêntica saindo de (-1,0) para a esquerda, subindo em módulo para -\infty.
  • Pontos de referência numéricos (úteis para o esboço): escolher a=10 como exemplo para visualizar f(10)=\sqrt{\log_{10}10}=1,\qquad f(100)=\sqrt{\log_{10}100}=\sqrt{2}\approx 1{,}414.Esses números mostram que para |x| crescer muito, f(x) cresce, mas devagar.
  • Não há assíntotas horizontais finitas: f(x)\to\infty quando |x|\to\infty. Não há descontinuidade nem valor infinito no interior.

Passo 11

Observações finais e interpretação intuitiva (um empurrãozinho motivador).
  • Visualize o gráfico como uma barra horizontal no meio ( -1 a 1 em y=0) e duas “ramificações” simétricas saindo de (\pm1,0) que sobem rapidamente no começo e depois se aplainam, continuando a subir indefinidamente.
  • Se estiver nervoso na prova: desenhe primeiro o segmento y=0 em [-1,1], marque (1,0) e (-1,0), e depois trace a curva y=\sqrt{\log_{a}|x|} para |x|>1 lembrando que ela é crescente e côncava para baixo, com derivada que diverge ao sair de 1.

Resposta

  • Função par; domínio \mathbb{R}.
  • f(x)=0 para |x|<1 e f(\pm1)=0.
  • Para |x|>1 temos f(x)=\sqrt{\log_{a}|x|}=\dfrac{\sqrt{\ln|x|}}{\sqrt{\ln a}}, que é estritamente crescente em |x|>1, côncava para baixo e com derivada que tende a +\infty ao aproximar-se de |x|=1 pela direita (saída íngreme), e cuja inclinação tende a 0 quando |x|\to\infty.
  • Esboço: segmento horizontal y=0 em [-1,1] e duas curvas simétricas saindo de (\pm1,0), subindo rapidamente logo após \pm1 e depois suavemente para cima, sem limite superior.

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