Faça um esboço dos gráficos das funções e determine o seu conjunto imagem:
f(x)=-x^2+5 x+6

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática f(x) = -x^2 + 5x + 6 e a determinação do seu conjunto imagem. Vamos usar conceitos de polinômio de segundo grau: coeficientes, concavidade, raízes, vértice e valor máximo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = -1, b = 5, c = 6
Como a<0, a parábola é côncava para baixo, ou seja, possui um valor máximo.

Passo 3

Para encontrar as raízes, calculamos o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 5^2 - 4cdot(-1)cdot6 = 25 + 24 = 49
As raízes vêm de
x = -b pm raizDe<a2a = -5 pm 72cdot(-1) = -5 pm 7-2,
resultando em x = -1 e x = 6. Assim, os zeros da função são (-1,0) e (6,0). A interseção com o eixo y é f(0)=6, isto é, (0,6).

Passo 4

O vértice tem abscissa
xv = -b2a = -52(-1) = 52,
e ordenada
f(xv) = -l(52r)^2 + 5cdot52 + 6 = -254 + 504 + 244 = 494
Portanto o vértice é l(tfrac52,tfrac494r).

Passo 5

No esboço, a parábola abre para baixo, passa por (-1,0), (6,0) e (0,6), alcançando seu ponto mais alto em l(tfrac52,tfrac494r).

Passo 6

Como não há limite inferior para f(x) e o valor máximo é 494, o conjunto imagem é
(-infty,tfrac494]

Resposta

O conjunto imagem de f é (-infty,tfrac494].

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