Faça um esboço dos gráficos das funções e determine o seu conjunto imagem:
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede (i) um esboço do gráfico e (ii) o conjunto imagem. Aqui vamos usar noções de gráfico de reta e de parábola e analisar separadamente cada ramo.
Passo 2
Para
x<=2 temos a reta
É um gráfico de inclinação
1 e intercepto em
y=tfrac12 . Em
x=2 vale
com ponto sólido em
(2,2,5) . Quando
xto-infty ,
f1(x)to-infty , ou seja, o ramo da reta desce indefinidamente.
Passo 3
Para
x>2 temos a parábola voltada para baixo
Em
x=2 a parábola atinge o valor limite
-4 , mas como
x>2 esse ponto é aberto: círculo vazio em
(2,-4) . Conforme
xto+infty ,
f2(x)to-infty .
Passo 4
No esboço unimos os dois ramos:
- A reta até o ponto sólido
.(2,2,5) - A parábola a partir de um círculo aberto em
descendo para(2,-4) .-infty
Dessa forma vemos a união dos dois gráficos em
x=2 sem continuidade, pois o salto é de
2,5 para
-4 .
Passo 5
Agora o conjunto imagem. Separadamente:
- Para a reta
comx+tfrac12 , a imagem éx<=2 (-infty,;2,5] - Para a parábola
com-x^2 , a imagem éx>2 (-infty,;-4)
A união desses intervalos é
pois todos os valores abaixo de
-4 já aparecem na reta quando
x é suficiente negativo.
Resposta
O esboço é o descrito nos passos acima e o conjunto imagem é