Faça um esboço dos gráficos das funções e determine o seu conjunto imagem:
f(x)=lx+12, - se ^2 x <= 2 -x^2, se x>2

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x+tfrac12, & x<=2, -,x^2, & x>2,
e pede (i) um esboço do gráfico e (ii) o conjunto imagem. Aqui vamos usar noções de gráfico de reta e de parábola e analisar separadamente cada ramo.

Passo 2

Para x<=2 temos a reta
f1(x)=x+tfrac12
É um gráfico de inclinação 1 e intercepto em y=tfrac12. Em x=2 vale
f1(2)=2+tfrac12=2,5,
com ponto sólido em (2,2,5). Quando xto-infty, f1(x)to-infty, ou seja, o ramo da reta desce indefinidamente.

Passo 3

Para x>2 temos a parábola voltada para baixo
f2(x)=-,x^2
Em x=2 a parábola atinge o valor limite -4, mas como x>2 esse ponto é aberto: círculo vazio em (2,-4). Conforme xto+infty, f2(x)to-infty.

Passo 4

No esboço unimos os dois ramos:
  • A reta até o ponto sólido (2,2,5).
  • A parábola a partir de um círculo aberto em (2,-4) descendo para -infty.
Dessa forma vemos a união dos dois gráficos em x=2 sem continuidade, pois o salto é de 2,5 para -4.

Passo 5

Agora o conjunto imagem. Separadamente:
  • Para a reta x+tfrac12 com x<=2, a imagem é (-infty,;2,5]
  • Para a parábola -x^2 com x>2, a imagem é (-infty,;-4)
A união desses intervalos é
(-infty,;2,5],
pois todos os valores abaixo de -4 já aparecem na reta quando x é suficiente negativo.

Resposta

O esboço é o descrito nos passos acima e o conjunto imagem é
Im(f)=(-infty,tfrac52]

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