Inicialmente,
de sódio são dissolvidos em um recipiente com
de água. Uma solução sódica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de
por minuto, sendo que depois de ser bem misturada é drenada na mesma taxa. Considerando-se
a quantidade de sal após
minutos segue que
onde
e
denotam, respectivamente, as taxas de entrada e saída de sal.
(a) Supondo que a concentração que entra seja de
, mostre que
para concluir que
(a) Supondo que a concentração que entra seja de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um recipiente com água onde dissolvemos 3 gramas de sódio (Na). Depois, uma solução que contém sódio está sendo adicionada e removida desse recipiente ao mesmo tempo. Queremos descobrir como a quantidade de sódio no recipiente muda ao longo do tempo.
Matéria envolvida: Taxas de variação e concentração em soluções.
O que vamos precisar: Conceitos de concentração (gramas por litro) e como calcular as taxas de entrada e saída de sódio na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular T<sub>e</sub>, que é a taxa de entrada de sódio na solução. Sabemos que a solução que está entrando tem uma concentração de 2 g/L e está entrando a uma taxa de 0,5 L por minuto.
Para encontrar a quantidade de sódio que entra por minuto, multiplicamos a concentração pela taxa de fluxo:
Então, T<sub>e</sub> = 1 g/min.
Passo 3
Agora, vamos calcular T<sub>s</sub>, que é a taxa de saída de sódio da solução. A solução está saindo também a 0,5 L por minuto. Para encontrar quanto sódio está saindo, precisamos saber a concentração da solução que está sendo drenada.
A concentração da solução no recipiente é a quantidade de sódio presente dividido pelo volume total de água. Como o volume não está mudando (a mesma taxa entra e sai), temos 6 litros de água.
A concentração no recipiente é então:
Onde Q(t) é a quantidade de sódio no tempo t.
Agora, multiplicamos essa concentração pela taxa de saída para encontrar T<sub>s</sub>:
Então, T<sub>s</sub> = Q(t)/12 g/min.
Passo 4
Com T<sub>e</sub> e T<sub>s</sub> calculados, podemos agora encontrar a taxa de variação da quantidade de sódio no recipiente, que é Q′(t).
A fórmula dada é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da quantidade de sódio no recipiente é: