Por que essa forma? As funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) (com n=1,2,\dots) formam um sistema ortogonal em [0,L] e são naturais quando se quer uma expansão que se anule em x=0 e x=L. A ideia é projetar f sobre cada seno usando a ortogonalidade para obter fórmulas para os coeficientes b_n.
Passo 3
Propriedade de ortogonalidade (é a base para calcular os coeficientes).
A identidade que usamos é
e integrar em [0,L]. Os termos com coseno inteiro em múltiplos de \pi ao longo do período dão cancelamentos que resultam em zero quando n\ne m, e quando n=m obtemos \dfrac{L}{2}.]
Passo 4
Derivação da fórmula para b_n usando ortogonalidade.
Multiplicamos a expansão proposta por \sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right) e integramos de 0 a L:
Comentário sobre convergência e valores limite (como ler a série na prática).
Para 0<x<a (pontos onde f é contínua e igual a A) a série converge para A.
Para a<x<L (onde f é contínua e igual a 0) a série converge para 0.
No ponto de descontinuidade x=a a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}.
Nos extremos x=0 e x=L a soma da série é 0 (as funções seno anulam nesses pontos), mesmo que f(0)=A pela definição; isso é consequência da extensão ímpar/periodicidade subjacente à série de senos.
Força aí — com essa fórmula de b_n você já consegue escrever quantos termos quiser e praticar algumas aproximações numéricas para a prova!