Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}A & , x \in[0, a] \\\\ 0 & , x \in(a, L]\end{array}\right. onde 0<a<L. Desenvolver f(x) em séries de senos.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} A, & x\in[0,a],\\[4pt] 0, & x\in(a,L], \end{cases}
com 0<a<L, e pede: desenvolver f(x) em séries de senos no intervalo [0,L].
Informações relevantes do enunciado:
  • A função vale A no subintervalo [0,a] e vale 0 em (a,L].
  • Os parâmetros A, a e L são dados com 0<a<L.
  • A tarefa é obter os coeficientes da série de senos e escrever a série que representa f(x).]

Passo 2

Idéia do método (explicação passo a passo do que vamos fazer).
Vamos procurar uma expansão do tipo
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right).
Por que essa forma? As funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) (com n=1,2,\dots) formam um sistema ortogonal em [0,L] e são naturais quando se quer uma expansão que se anule em x=0 e x=L. A ideia é projetar f sobre cada seno usando a ortogonalidade para obter fórmulas para os coeficientes b_n.

Passo 3

Propriedade de ortogonalidade (é a base para calcular os coeficientes).
A identidade que usamos é
\int_{0}^{L}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)\,dx= \begin{cases} 0, & n\ne m,\\[4pt] \dfrac{L}{2}, & n=m. \end{cases}
Explicando rapidamente como isso aparece: usar a identidade de produto para soma
\sin\alpha\sin\beta=\tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]
e integrar em [0,L]. Os termos com coseno inteiro em múltiplos de \pi ao longo do período dão cancelamentos que resultam em zero quando n\ne m, e quando n=m obtemos \dfrac{L}{2}.]

Passo 4

Derivação da fórmula para b_n usando ortogonalidade.
Multiplicamos a expansão proposta por \sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right) e integramos de 0 a L:
\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \int_{0}^{L}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)\,dx.
Pela ortogonalidade, só o termo n=m sobrevive, dando
\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)\,dx = b_m\cdot \dfrac{L}{2}.
Isolando b_m obtemos a fórmula geral (substituindo m por n):
b_n=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 5

Cálculo do integral específico para a função dada.
Como f(x)=A em [0,a] e f(x)=0 em (a,L], a integral reduz-se a
\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \int_{0}^{a} A\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Calculemos essa integral passo a passo. Usando a primitiva de \sin:
\int_{0}^{a} \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \left[-\dfrac{L}{n\pi}\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{a} = -\dfrac{L}{n\pi}\Big(\cos\!\left(\dfrac{n\pi a}{L}\right)-\cos 0\Big).
Como \cos 0=1, isso dá
\int_{0}^{a} \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \dfrac{L}{n\pi}\Big(1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi a}{L}\right)\Big).
Multiplicando por A e aplicando a fórmula de b_n:
b_n=\dfrac{2}{L}\cdot A\cdot \dfrac{L}{n\pi}\Big(1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi a}{L}\right)\Big) =\dfrac{2A}{n\pi}\Big(1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi a}{L}\right)\Big).

Passo 6

Forma alternativa mais compacta do coeficiente (identidade trigonométrica).
Usando \;1-\cos\theta=2\sin^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\; obtemos
b_n=\dfrac{4A}{n\pi}\sin^{2}\!\left(\dfrac{n\pi a}{2L}\right).
Ambas as formas são equivalentes; esta pode ser mais conveniente em certos cálculos numéricos e mostra que b_n\ge0 para todos n.

Passo 7

Escrevendo a série de senos completa.
Portanto a expansão em série de senos de f em [0,L] é
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right),
com
b_n=\dfrac{2A}{n\pi}\Big(1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi a}{L}\right)\Big) =\dfrac{4A}{n\pi}\sin^{2}\!\left(\dfrac{n\pi a}{2L}\right).

Passo 8

Comentário sobre convergência e valores limite (como ler a série na prática).
  • Para 0<x<a (pontos onde f é contínua e igual a A) a série converge para A.
  • Para a<x<L (onde f é contínua e igual a 0) a série converge para 0.
  • No ponto de descontinuidade x=a a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}.
  • Nos extremos x=0 e x=L a soma da série é 0 (as funções seno anulam nesses pontos), mesmo que f(0)=A pela definição; isso é consequência da extensão ímpar/periodicidade subjacente à série de senos.
Força aí — com essa fórmula de b_n você já consegue escrever quantos termos quiser e praticar algumas aproximações numéricas para a prova!

Resposta

f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), \qquad b_n=\dfrac{2A}{n\pi}\Big(1-\cos\!\left(\dfrac{n\pi a}{L}\right)\Big) =\dfrac{4A}{n\pi}\sin^{2}\!\left(\dfrac{n\pi a}{2L}\right).

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