Faça um esboço da região (se existir) definida pelo sistema de desigualdades dado.
Passo 1
O enunciado pede um esboço (uma figura/representação gráfica) da região do plano definida pelo sistema de desigualdades
As perguntas/objetivos que vou atender:
- Reescrever cada desigualdade em forma conveniente para desenhar curvas de contorno.
- Determinar as curvas que formam as fronteiras do sistema.
- Encontrar pontos de interseção entre essas curvas.
- Descrever e esboçar (mentally/explicitamente) a região do plano que satisfaz ambas as desigualdades (se existir).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Duas desigualdades estritas (
e ), portanto as fronteiras não pertencem à região (curvas são não incluídas). - As expressões envolvem uma função quadrática em
(parábola) e uma função linear (reta).]
Passo 2
Vamos isolar
em cada desigualdade para entender melhor as regiões acima/abaixo das curvas.
Da primeira desigualdade:
Isolando
:
ou equivalentemente
Isto significa: a primeira condição pede que
esteja estritamente acima da parábola de equação
.
Da segunda desigualdade:
Isolando
:
Isto significa: a segunda condição pede que
esteja estritamente acima da reta de equação
.
Portanto o sistema exige simultaneamente
ou seja
Passo 3
Agora vamos estudar separadamente as duas curvas que aparecem como fronteiras.
- Parábola
.
- É uma parábola com concavidade para cima.
- Vértice em
(pois tem mínimo 0 quando ). - Interseção com o eixo
em . - Não tem raízes reais (pois
não tem solução real), então não cruza o eixo .
- Reta
.
- Inclinação (coeficiente angular)
. - Interseção com o eixo
em . - Interseção com o eixo
em .
Para desenhar corretamente a região precisamos também dos pontos de interseção entre a parábola e a reta, solução do sistema de igualdades
Resolver essa equação:
Aplicando a fórmula quadrática:
Portanto os abscissas de interseção são
e
.
Os correspondentes ordenadas pela reta são
Os correspondentes ordenadas pela reta
Numericamente, essas interseções são aproximadamente
e
Passo 4
Precisamos saber, para cada
, qual das duas curvas tem valor maior (ou seja, qual é a “fronteira superior” naquele
), porque a região exigida é a parte do plano que fica acima de ambas as curvas simultaneamente.
Considere a diferença
O sinal de
indica se a reta está acima da parábola (
) ou abaixo (
). As raízes de
são exatamente os
das interseções que encontramos. Assim:
- Para
entre e , temos , logo : a reta está acima da parábola . - Para
fora desse intervalo (isto é, ou ), a parábola está acima da reta.
Portanto a fronteira superior (a função cujo valor é maior) é:
- a reta
quando ; - a parábola
quando ou .
Como queremos pontos com
maior do que ambas, a região solução é o conjunto dos pontos que estão acima dessa função máxima.
Passo 5
Como esboçar a região passo a passo (dicas práticas para fazer no papel, sem calculadora gráfica):
- Desenhar os eixos
e . - Desenhar a parábola com vértice em
e ramo para cima; marque . - Desenhar a reta com interceptos
e ; marque esses pontos. - Marcar as interseções entre a reta e a parábola nos pontos exatos
(ou aproximadamente e ). - Entre essas duas interseções, a reta fica acima da parábola; fora desse intervalo, a parábola fica acima.
- A região solução é toda a parte do plano acima da curva formada pela “junção” dessas duas curvas (usar a reta como fronteira superior entre as interseções e a parábola fora delas).
- Como as desigualdades são estritas (
e ), desenhe as curvas como tracejadas (fronteira não incluída) e sombreie a região estritamente acima delas.
Visualmente: imagine a parábola e, entre as duas interseções, a reta corta por cima da parábola. A região é tudo que está acima da “batente” formada por essa união (reta entre interseções + ramos da parábola fora delas). A região é não vazia e vai para cima sem limites (é não limitada superiormente).
Passo 6
Verificações rápidas com pontos para confirmar:
- Teste o ponto
: e → satisfaz ambas: pertence à região (bom sinal). - Teste
: verdadeiro, mas falso → não pertence.
Esses testes confirmam a descrição: por exemplo ema fronteira superior é a reta ( ), então apenas pontos com em estão na região.