Faça um esboço da região (se existir) definida pelo sistema de desigualdades dado.
\left\{\begin{array}{c}x^{2}-y+1<0 \\\ x+y-4>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede um esboço (uma figura/representação gráfica) da região do plano definida pelo sistema de desigualdades
\begin{cases} x^{2}-y+1<0\\[4pt] x+y-4>0 \end{cases}
As perguntas/objetivos que vou atender:
  • Reescrever cada desigualdade em forma conveniente para desenhar curvas de contorno.
  • Determinar as curvas que formam as fronteiras do sistema.
  • Encontrar pontos de interseção entre essas curvas.
  • Descrever e esboçar (mentally/explicitamente) a região do plano que satisfaz ambas as desigualdades (se existir).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Duas desigualdades estritas ( <0 e >0), portanto as fronteiras não pertencem à região (curvas são não incluídas).
  • As expressões envolvem uma função quadrática em x (parábola) e uma função linear (reta).]

Passo 2

Vamos isolar y em cada desigualdade para entender melhor as regiões acima/abaixo das curvas.
Da primeira desigualdade:
x^{2}-y+1<0.
Isolando y:
x^{2}+1<y
ou equivalentemente
y>x^{2}+1.
Isto significa: a primeira condição pede que y esteja estritamente acima da parábola de equação \,y=x^{2}+1.
Da segunda desigualdade:
x+y-4>0.
Isolando y:
y>4-x.
Isto significa: a segunda condição pede que y esteja estritamente acima da reta de equação \,y=4-x.
Portanto o sistema exige simultaneamente
y>x^{2}+1\quad\text{e}\quad y>4-x,
ou seja
y>\max\bigl(x^{2}+1,\;4-x\bigr).

Passo 3

Agora vamos estudar separadamente as duas curvas que aparecem como fronteiras.
  1. Parábola \,y=x^{2}+1.
  • É uma parábola com concavidade para cima.
  • Vértice em (0,1) (pois x^{2} tem mínimo 0 quando x=0).
  • Interseção com o eixo y em y(0)=1.
  • Não tem raízes reais (pois x^{2}+1=0 não tem solução real), então não cruza o eixo x.
  1. Reta \,y=4-x.
  • Inclinação (coeficiente angular) -1.
  • Interseção com o eixo y em (0,4).
  • Interseção com o eixo x em (4,0).
Para desenhar corretamente a região precisamos também dos pontos de interseção entre a parábola e a reta, solução do sistema de igualdades
x^{2}+1=4-x.
Resolver essa equação:
x^{2}+x-3=0.
Aplicando a fórmula quadrática:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+12}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.
Portanto os abscissas de interseção são \displaystyle x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} e \displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.
Os correspondentes ordenadas pela reta y=4-x são
y=4-x=\frac{9\mp\sqrt{13}}{2}.
Numericamente, essas interseções são aproximadamente
x\approx -2{,}3028,\; y\approx 6{,}3028
e
x\approx 1{,}3028,\; y\approx 2{,}6972.

Passo 4

Precisamos saber, para cada x, qual das duas curvas tem valor maior (ou seja, qual é a “fronteira superior” naquele x), porque a região exigida é a parte do plano que fica acima de ambas as curvas simultaneamente.
Considere a diferença
d(x)=(4-x)-(x^{2}+1)=-x^{2}-x+3=-(x^{2}+x-3).
O sinal de d(x) indica se a reta está acima da parábola ( d(x)>0) ou abaixo ( d(x)<0). As raízes de x^{2}+x-3 são exatamente os x das interseções que encontramos. Assim:
  • Para x entre \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} e \dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}, temos x^{2}+x-3<0, logo d(x)>0: a reta y=4-x está acima da parábola y=x^{2}+1.
  • Para x fora desse intervalo (isto é, x<\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} ou x>\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}), a parábola está acima da reta.
Portanto a fronteira superior (a função cujo valor é maior) é:
  • a reta y=4-x quando \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}<x<\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2};
  • a parábola y=x^{2}+1 quando x\le\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} ou x\ge\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}.
Como queremos pontos com y maior do que ambas, a região solução é o conjunto dos pontos que estão acima dessa função máxima.

Passo 5

Como esboçar a região passo a passo (dicas práticas para fazer no papel, sem calculadora gráfica):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Desenhar a parábola com vértice em (0,1) e ramo para cima; marque (0,1).
  3. Desenhar a reta com interceptos (0,4) e (4,0); marque esses pontos.
  4. Marcar as interseções entre a reta e a parábola nos pontos exatos \bigl(\tfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2},\,\tfrac{9\mp\sqrt{13}}{2}\bigr) (ou aproximadamente (-2{,}30,6{,}30) e (1{,}30,2{,}70)).
  5. Entre essas duas interseções, a reta fica acima da parábola; fora desse intervalo, a parábola fica acima.
  6. A região solução é toda a parte do plano acima da curva formada pela “junção” dessas duas curvas (usar a reta como fronteira superior entre as interseções e a parábola fora delas).
  7. Como as desigualdades são estritas ( < e >), desenhe as curvas como tracejadas (fronteira não incluída) e sombreie a região estritamente acima delas.
Visualmente: imagine a parábola e, entre as duas interseções, a reta corta por cima da parábola. A região é tudo que está acima da “batente” formada por essa união (reta entre interseções + ramos da parábola fora delas). A região é não vazia e vai para cima sem limites (é não limitada superiormente).

Passo 6

Verificações rápidas com pontos para confirmar:
  • Teste o ponto (0,5): 5>0^{2}+1=1 e 5>4-0=4 → satisfaz ambas: pertence à região (bom sinal).
  • Teste (0,2): 2>1 verdadeiro, mas 2>4 falso → não pertence.
    Esses testes confirmam a descrição: por exemplo em x=0 a fronteira superior é a reta ( y=4), então apenas pontos com y>4 em x=0 estão na região.

Resposta

\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>\max(x^{2}+1,\;4-x)\}

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