Faça um esboço da região (se existir) definida pelo sistema de desigualdades dado.
Passo 1
O enunciado pede um esboço da região (se existir) definida pelo sistema de desigualdades abaixo. As informações dadas são exatamente essas duas desigualdades:
O que se quer: desenhar (esboçar) a região do plano formada pelos pontos
que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades. Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
Reescrevendo cada desigualdade na forma
para identificar as retas que formam as fronteiras:
Explicando com calma: quando isolamos
obtemos a equação da reta que é a fronteira (igualdade) e o sinal fornece qual metade do plano (meia-plano) está sendo escolhida. As retas- fronteira são
Para desenhar cada reta é útil achar pontos: para
temos o ponto
(quando
) e
(quando
). Para
temos
e
. Note que ambas as retas passam por
.
Passo 3
Entender qual lado da reta deve ser sombreado (qual meia-plano escolher). Dois métodos: (a) usar o coeficiente de
quando isolado (o sinal já nos disse:
significa o lado com
maior); (b) testar um ponto simples. Vou usar o ponto
porque é prático:
- Para a primeira desigualdade, avaliar em
:
que é verdadeiro. Logo
está no meia-plano definido por
, isto é, do lado de
.
- Para a segunda, avaliar em
:
também verdadeiro. Logo
pertence ao meia-plano
.
Como
satisfaz ambas, a região procurada contém
. Observação prática para o desenho: as retas serão desenhadas como linhas contínuas (não tracejadas) porque as desigualdades são “
” e “
”, ou seja, as fronteiras estão incluídas na região.
Passo 4
Determinar o ponto de interseção das duas retas (isso mostra o “vértice” do conjunto):
igualando e
:
igualando
Substituindo
em
dá
. Assim o ponto de interseção é
. Geometricamente isso significa que as duas retas se cruzam em
e, como ambas exigem
maior ou igual ao valor da reta, a região comum é a interseção dos dois meia-planos acima (ou sobre) dessas retas.
Passo 5
Descrição geométrica e como esboçar (passo a passo no papel):
- Desenhe os eixos
e . - Plote os pontos
, e . - Trace a reta passando por
e ; essa é a reta . Desenhe-a sólida. - Trace a reta passando por
e ; essa é a reta . Desenhe-a sólida. - Como em ambas as desigualdades temos
algo, sombreie a região acima de cada reta. A região procurada é a interseção dessas sombreadas — ou seja, a parte do plano que está simultaneamente acima de e acima de . - Observe que isso forma uma “cunha” (um setor) com vértice em
que se abre para cima e é ilimitada (não é um conjunto limitado).
Dica visual: o ponto
ficará dentro da cunha (já verificamos que pertence), então ao sombrear acima das duas retas certifique-se de incluir o ponto origem.
Passo 6
Interpretação final em termos de conjuntos (forma útil para a prova):
a região é
a região é
Isto é equivalente a
É uma região convexa, inclusa das duas retas, com vértice em
e que se estende infinitamente para cima.