Faça um esboço da região (se existir) definida pelo sistema de desigualdades dado.
\left\{\begin{array}{l}x-y-1 \leq 0 \\\ x+y+1 \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede um esboço da região (se existir) definida pelo sistema de desigualdades abaixo. As informações dadas são exatamente essas duas desigualdades:
\begin{cases} x - y - 1 \leq 0,\\[4pt] x + y + 1 \geq 0. \end{cases}
O que se quer: desenhar (esboçar) a região do plano formada pelos pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades. Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

Reescrevendo cada desigualdade na forma y = \text{(algo)} para identificar as retas que formam as fronteiras:
x - y - 1 \leq 0 \quad\Longrightarrow\quad -y \leq 1 - x \quad\Longrightarrow\quad y \geq x - 1.
x + y + 1 \geq 0 \quad\Longrightarrow\quad y \geq -x - 1.
Explicando com calma: quando isolamos y obtemos a equação da reta que é a fronteira (igualdade) e o sinal fornece qual metade do plano (meia-plano) está sendo escolhida. As retas- fronteira são
y = x - 1 \quad\text{e}\quad y = -x - 1.
Para desenhar cada reta é útil achar pontos: para y = x - 1 temos o ponto (0,-1) (quando x=0) e (1,0) (quando x=1). Para y = -x -1 temos (0,-1) e (-1,0). Note que ambas as retas passam por (0,-1).

Passo 3

Entender qual lado da reta deve ser sombreado (qual meia-plano escolher). Dois métodos: (a) usar o coeficiente de y quando isolado (o sinal já nos disse: y\ge\cdots significa o lado com y maior); (b) testar um ponto simples. Vou usar o ponto (0,0) porque é prático:
  • Para a primeira desigualdade, avaliar em (0,0):
x-y-1 \leq 0 \quad\Rightarrow\quad 0-0-1 \leq 0 \quad\text{ou seja}\quad -1 \leq 0,
que é verdadeiro. Logo (0,0) está no meia-plano definido por x-y-1\le0, isto é, do lado de y\ge x-1.
  • Para a segunda, avaliar em (0,0):
x+y+1 \geq 0 \quad\Rightarrow\quad 0+0+1 \geq 0 \quad\text{ou seja}\quad 1 \geq 0,
também verdadeiro. Logo (0,0) pertence ao meia-plano y\ge -x-1.
Como (0,0) satisfaz ambas, a região procurada contém (0,0). Observação prática para o desenho: as retas serão desenhadas como linhas contínuas (não tracejadas) porque as desigualdades são “ \le” e “ \ge”, ou seja, as fronteiras estão incluídas na região.

Passo 4

Determinar o ponto de interseção das duas retas (isso mostra o “vértice” do conjunto):
igualando y = x-1 e y = -x-1:
x-1 = -x-1 \quad\Rightarrow\quad 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Substituindo x=0 em y = x-1 y=-1. Assim o ponto de interseção é (0,-1). Geometricamente isso significa que as duas retas se cruzam em (0,-1) e, como ambas exigem y maior ou igual ao valor da reta, a região comum é a interseção dos dois meia-planos acima (ou sobre) dessas retas.

Passo 5

Descrição geométrica e como esboçar (passo a passo no papel):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Plote os pontos (0,-1), (1,0) e (-1,0).
  3. Trace a reta passando por (0,-1) e (1,0); essa é a reta y = x-1. Desenhe-a sólida.
  4. Trace a reta passando por (0,-1) e (-1,0); essa é a reta y = -x-1. Desenhe-a sólida.
  5. Como em ambas as desigualdades temos y \ge algo, sombreie a região acima de cada reta. A região procurada é a interseção dessas sombreadas — ou seja, a parte do plano que está simultaneamente acima de y=x-1 e acima de y=-x-1.
  6. Observe que isso forma uma “cunha” (um setor) com vértice em (0,-1) que se abre para cima e é ilimitada (não é um conjunto limitado).
Dica visual: o ponto (0,0) ficará dentro da cunha (já verificamos que pertence), então ao sombrear acima das duas retas certifique-se de incluir o ponto origem.

Passo 6

Interpretação final em termos de conjuntos (forma útil para a prova):
a região é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \geq x-1 \text{ e } y \geq -x-1\}.
Isto é equivalente a
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \geq \max(x-1,\,-x-1)\}.
É uma região convexa, inclusa das duas retas, com vértice em (0,-1) e que se estende infinitamente para cima.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \geq x-1,\; y \geq -x-1\}

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