Dois comerciantes vendem um certo tipo de tecido. O segundo vendeu 3 metros mais do que o primeiro. No fim do dia, os dois recebem juntos o total de \mathrm{R} \ 35,00 pela venda do tecido. O primeiro diz: "Se eu tivesse vendido a meu preço, a quantidade que você vendeu, teria apuradoçê\mathrm{R} $24,00 ". O segundo responde: " E eu teria recebido\mathrm{R} $ 12,50$ pelo tecido que você vendeu." Determine quantos metros de tecido cada um vendeu e a que preço.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantos metros cada comerciante vendeu e a que preço (preço por metro) a partir das seguintes informações:
  • O segundo comerciante vendeu 3 metros a mais do que o primeiro.
  • Juntos, os dois receberam o total de R\$\,35{,}00.
  • O primeiro afirma: “Se eu tivesse vendido, ao meu preço, a quantidade que você vendeu, teria apurado R\$\,24{,}00.”
  • O segundo afirma: “E eu teria recebido R\$\,12{,}50 pelo tecido que você vendeu.”
Informações relevantes listadas:
  • Há quatro incógnitas: quantidade vendida pelo primeiro, quantidade vendida pelo segundo, preço por metro do primeiro e preço por metro do segundo.
  • Há quatro equações implícitas nas frases (total, diferença de metros e as duas hipóteses de troca de quantidades/preços).
    A resolução começará agora traduzindo essas frases em equações e resolvendo o sistema.

Passo 2

Definimos variáveis para traduzir o problema em equações:
  • Seja x o número de metros vendidos pelo primeiro comerciante (metros).
  • Seja y o número de metros vendidos pelo segundo comerciante (metros).
  • Seja p o preço por metro cobrado pelo primeiro comerciante (reais por metro).
  • Seja q o preço por metro cobrado pelo segundo comerciante (reais por metro).
Agora, escrevemos as equações que vêm diretamente do enunciado:
  1. “O segundo vendeu 3 metros mais do que o primeiro”: y = x + 3.
  2. "Juntos receberam R\$\,35{,}00": x p + y q = 35{,}00.
  3. "Se eu (primeiro) tivesse vendido, ao meu preço, a quantidade que você vendeu, teria apurado R\$\,24{,}00": y p = 24{,}00.
  4. “E eu (segundo) teria recebido R\$\,12{,}50 pelo tecido que você vendeu”: x q = 12{,}50.
Essas quatro equações formam um sistema que podemos resolver para x,y,p,q.

Passo 3

Usamos as equações 3 e 4 para expressar p e q em função de x e y:
p = \frac{24{,}00}{y},\qquad q = \frac{12{,}50}{x}.
Substituímos essas expressões na equação do total de receitas (equação 2):
x\left(\frac{24{,}00}{y}\right) + y\left(\frac{12{,}50}{x}\right) = 35{,}00.
Como sabemos y = x + 3, substituímos também y para obter uma equação só em x:
x\left(\frac{24{,}00}{x+3}\right) + (x+3)\left(\frac{12{,}50}{x}\right) = 35{,}00.

Passo 4

Para eliminar denominadores, multiplicamos ambos os lados por x(x+3) (assumindo x>0 porque são metros vendidos):
x(x+3)\cdot\left[x\left(\frac{24{,}00}{x+3}\right) + (x+3)\left(\frac{12{,}50}{x}\right)\right] = 35{,}00\cdot x(x+3).
Isso simplifica cada termo:
24{,}00\,x^{2} + 12{,}50\,(x+3)^{2} = 35{,}00\,x(x+3).

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos essa equação. Primeiro expandindo (x+3)^{2} e o lado direito:
24{,}00\,x^{2} + 12{,}50\,(x^{2} + 6x + 9) = 35{,}00\,(x^{2} + 3x).
Multiplicando os fatores:
24{,}00\,x^{2} + 12{,}50\,x^{2} + 75{,}00\,x + 112{,}50 = 35{,}00\,x^{2} + 105{,}00\,x.
Somando os termos em x^{2} à esquerda:
36{,}50\,x^{2} + 75{,}00\,x + 112{,}50 = 35{,}00\,x^{2} + 105{,}00\,x.
Passamos tudo para um lado:
(36{,}50-35{,}00)\,x^{2} + (75{,}00-105{,}00)\,x + 112{,}50 = 0,
ou seja
1{,}50\,x^{2} -30{,}00\,x + 112{,}50 = 0.

Passo 6

Para evitar decimais, multiplicamos a equação por 2:
3{,}00\,x^{2} -60{,}00\,x + 225{,}00 = 0.
Dividindo por 3 para simplificar:
x^{2} -20{,}00\,x + 75{,}00 = 0.
Temos agora uma equação quadrática clássica. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatorar. Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-20{,}00)^{2} - 4\cdot1\cdot75{,}00 = 400{,}00 - 300{,}00 = 100{,}00.
Como \sqrt{\Delta} = 10{,}00, as raízes são
x = \frac{20{,}00 \pm 10{,}00}{2} = \frac{20\pm10}{2}.
Portanto
x = 15{,}00 \quad\text{ou}\quad x = 5{,}00.
(Nota didática: quando o discriminante é um quadrado perfeito, a quadrática fatora com coeficientes inteiros; aqui x^{2}-20x+75=(x-5)(x-15).)

Passo 7

Para cada valor de x encontramos y=p e q.
Caso 1: x=15{,}00.
  • Então y = x+3 = 18{,}00.
  • Da equação y p = 24{,}00 obtemos p = \dfrac{24{,}00}{18{,}00} = \dfrac{4}{3} = 1{,}3\overline{3} (reais por metro).
  • Da equação x q = 12{,}50 obtemos q = \dfrac{12{,}50}{15{,}00} = \dfrac{5}{6} = 0{,}8\overline{3} (reais por metro).
  • Conferindo o total: x p = 15\cdot\frac{4}{3}=20{,}00 e y q = 18\cdot\frac{5}{6}=15{,}00. Soma 20{,}00+15{,}00=35{,}00 está correta.
Caso 2: x=5{,}00.
  • Então y = x+3 = 8{,}00.
  • Da equação y p = 24{,}00 obtemos p = \dfrac{24{,}00}{8{,}00}=3{,}00 (reais por metro).
  • Da equação x q = 12{,}50 obtemos q = \dfrac{12{,}50}{5{,}00}=2{,}50 (reais por metro).
  • Conferindo o total: x p = 5\cdot3{,}00=15{,}00 e y q = 8\cdot2{,}50=20{,}00. Soma 15{,}00+20{,}00=35{,}00 está correta.

Passo 8

Interpretação final: o sistema admite duas soluções positivas que satisfazem todas as afirmações do enunciado. Ambas são fisicamente admíssiveis (quantidades e preços positivos). Portanto o problema tem duas soluções possíveis, que listamos a seguir de forma clara.

Resposta

Solução 1: Primeiro vendeu 5 m a R\$\,3{,}00 por metro; Segundo vendeu 8 m a R\$\,2{,}50 por metro.
Solução 2: Primeiro vendeu 15 m a R\$\,\dfrac{4}{3} (ou R\$\,1{,}3\overline{3}) por metro; Segundo vendeu 18 m a R\$\,\dfrac{5}{6} (ou R\$\,0{,}8\overline{3}) por metro.

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