Dois comerciantes vendem um certo tipo de tecido. O segundo vendeu 3 metros mais do que o primeiro. No fim do dia, os dois recebem juntos o total de
35,00
\mathrm{R} $24,00
\mathrm{R} $ 12,50$ pelo tecido que você vendeu." Determine quantos metros de tecido cada um vendeu e a que preço.
Passo 1
O enunciado pede para determinar quantos metros cada comerciante vendeu e a que preço (preço por metro) a partir das seguintes informações:
- O segundo comerciante vendeu 3 metros a mais do que o primeiro.
- Juntos, os dois receberam o total de
. - O primeiro afirma: “Se eu tivesse vendido, ao meu preço, a quantidade que você vendeu, teria apurado
.” - O segundo afirma: “E eu teria recebido
pelo tecido que você vendeu.”
Informações relevantes listadas:
- Há quatro incógnitas: quantidade vendida pelo primeiro, quantidade vendida pelo segundo, preço por metro do primeiro e preço por metro do segundo.
- Há quatro equações implícitas nas frases (total, diferença de metros e as duas hipóteses de troca de quantidades/preços).
A resolução começará agora traduzindo essas frases em equações e resolvendo o sistema.
Passo 2
Definimos variáveis para traduzir o problema em equações:
- Seja
o número de metros vendidos pelo primeiro comerciante (metros). - Seja
o número de metros vendidos pelo segundo comerciante (metros). - Seja
o preço por metro cobrado pelo primeiro comerciante (reais por metro). - Seja
o preço por metro cobrado pelo segundo comerciante (reais por metro).
Agora, escrevemos as equações que vêm diretamente do enunciado:
- “O segundo vendeu 3 metros mais do que o primeiro”:
- "Juntos receberam
": - "Se eu (primeiro) tivesse vendido, ao meu preço, a quantidade que você vendeu, teria apurado
": - “E eu (segundo) teria recebido
pelo tecido que você vendeu”:
Essas quatro equações formam um sistema que podemos resolver para
.
Passo 3
Usamos as equações 3 e 4 para expressar
e
em função de
e
:
Substituímos essas expressões na equação do total de receitas (equação 2):
Como sabemos
, substituímos também
para obter uma equação só em
:
Passo 4
Para eliminar denominadores, multiplicamos ambos os lados por
(assumindo
porque são metros vendidos):
Isso simplifica cada termo:
Passo 5
Agora expandimos e simplificamos essa equação. Primeiro expandindo
e o lado direito:
Multiplicando os fatores:
Somando os termos em
à esquerda:
Passamos tudo para um lado:
ou seja
Passo 6
Para evitar decimais, multiplicamos a equação por
:
Dividindo por
para simplificar:
Temos agora uma equação quadrática clássica. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatorar. Calculamos o discriminante
:
Como
, as raízes são
Portanto
(Nota didática: quando o discriminante é um quadrado perfeito, a quadrática fatora com coeficientes inteiros; aqui
.)
Passo 7
Para cada valor de
encontramos
e
.
Caso 1:
.
- Então
. - Da equação
obtemos (reais por metro). - Da equação
obtemos (reais por metro). - Conferindo o total:
e . Soma está correta.
Caso 2:
.
- Então
. - Da equação
obtemos (reais por metro). - Da equação
obtemos (reais por metro). - Conferindo o total:
e . Soma está correta.
Passo 8
Interpretação final: o sistema admite duas soluções positivas que satisfazem todas as afirmações do enunciado. Ambas são fisicamente admíssiveis (quantidades e preços positivos). Portanto o problema tem duas soluções possíveis, que listamos a seguir de forma clara.
Resposta
Solução 1: Primeiro vendeu
m a
por metro; Segundo vendeu
m a
por metro.
Solução 2: Primeiro vendeu m a
(ou
) por metro; Segundo vendeu
m a
(ou
) por metro.
Solução 2: Primeiro vendeu