Para cada inequação abaixo, faça um esboço da região definida pela desigualdade dada.
5 x-2 y+6 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede um esboço da região do plano definida pela desigualdade
5x-2y+6 \geq 0.
Informações dadas: a desigualdade linear acima (não há outras condições). O objetivo é desenhar (esboçar) a reta que separa o plano e indicar qual dos dois semiplanos é a solução (incluindo a própria reta, pois a desigualdade é com `` \geq’’ ).

Passo 2

Primeiro identificamos a reta que é a fronteira da região, ou seja, a equação obtida fazendo igualdade:
5x-2y+6 = 0.
Vamos isolar y para ver melhor a inclinação e o intercepto:
-2y = -5x - 6
y = \frac{5}{2}x + 3.
Explicando: isolei y dividindo ambos os lados por -2. Como dividi por um número negativo, o sinal da desigualdade mudaria se estivéssemos manipulando uma desigualdade — aqui ainda era igualdade, então não houve inversão; depois, quando transformarmos a desigualdade, teremos atenção a essa inversão (veja passos seguintes).

Passo 3

Vamos encontrar pontos simples por onde passa a reta (interceptos), porque isso facilita o traço no papel.
  • Intercepto em y (quando x=0):
5\cdot 0 -2y +6 = 0 \implies -2y +6 = 0 \implies y=3.
Logo a reta passa por (0,3).
  • Intercepto em x (quando y=0):
5x -2\cdot 0 +6 = 0 \implies 5x +6 = 0 \implies x = -\tfrac{6}{5}.
Logo a reta passa por \bigl(-\tfrac{6}{5},0\bigr) (que é -1{,}2 em decimal).
Esses dois pontos são suficientes para traçar a reta.

Passo 4

Calcular a inclinação (coeficiente angular) para entender a inclinação da reta:
Da forma y=\dfrac{5}{2}x+3 fica claro que o coeficiente angular é
m=\frac{5}{2}=2{,}5.
Interpretação: ao andar 1 unidade em x para a direita, y aumenta 2{,}5 unidades. No desenho, a reta sobe fortemente para a direita.

Passo 5

Instruções passo a passo para esboçar a reta no papel (faça isso devagar — é fácil e rápido):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,3) no eixo y.
  3. Marque o ponto \bigl(-\tfrac{6}{5},0\bigr) no eixo x (um pouco à esquerda de -1).
  4. Trace uma reta passando por esses dois pontos.
  5. Como a desigualdade original permite igualdade ( \geq), desenhe essa reta como uma linha contínua (não tracejada).

Passo 6

Agora decidimos qual lado da reta corresponde à desigualdade \,5x-2y+6 \geq 0.
Método prático (teste de ponto): escolha um ponto fácil que não esteja sobre a reta, por exemplo a origem (0,0). Substitua na expressão da desigualdade:
5\cdot 0 -2\cdot 0 +6 = 6 \geq 0,
o resultado é verdadeiro, portanto a origem pertence à região solução. Conclusão: sombreie o semiplano que contém a origem.
Método algébrico (verificando a forma isolada): a desigualdade pode ser manipulada para y:
5x-2y+6 \geq 0 \implies -2y \geq -5x -6 \implies y \leq \frac{5}{2}x + 3,
onde na última etapa dividi por -2 e, por dividir por negativo, invertemos o sinal da desigualdade. Isso confirma: a região solução é o conjunto de pontos que estão no lado da reta com valores de y menores ou iguais a \dfrac{5}{2}x+3 — ou seja, “embaixo” da reta (incluindo a reta).

Passo 7

Verificações adicionais (para ganhar confiança):
  • Ponto (2,0): 5\cdot 2 -2\cdot 0 +6 = 16 \geq 0 → pertence (fica no semiplano sombreado).
  • Ponto (0,4): 5\cdot 0 -2\cdot 4 +6 = -2 < 0 → não pertence (fica do outro lado).
    Esses testes confirmam que o semiplano contendo a origem é o correto.

Passo 8

Resumo do que desenhar e anotar no esboço:
  • Reta fronteira: \;5x-2y+6=0 ou \;y=\dfrac{5}{2}x+3, traçada como linha contínua.
  • Dois pontos para marcar: \;(0,3) e \;\bigl(-\tfrac{6}{5},0\bigr).
  • Região solução: semiplano abaixo da reta (incluindo a reta), ou seja todos os pontos com y \leq \dfrac{5}{2}x+3. Sombreie essa região (a qual contém a origem).

Resposta

\{(x,y)\mid 5x-2y+6 \geq 0\} = \{(x,y)\mid y \leq \tfrac{5}{2}x + 3\}
Esboço: reta contínua y=\tfrac{5}{2}x+3 passando por \bigl(-\tfrac{6}{5},0\bigr) e (0,3); sombrear o semiplano abaixo da reta (incluindo a reta).

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