Para cada inequação abaixo, faça um esboço da região definida pela desigualdade dada.
Passo 1
O enunciado pede um esboço da região do plano definida pela desigualdade
Informações dadas: a desigualdade linear acima (não há outras condições). O objetivo é desenhar (esboçar) a reta que separa o plano e indicar qual dos dois semiplanos é a solução (incluindo a própria reta, pois a desigualdade é com ``
’’ ).
Passo 2
Primeiro identificamos a reta que é a fronteira da região, ou seja, a equação obtida fazendo igualdade:
Vamos isolar
para ver melhor a inclinação e o intercepto:
Explicando: isolei
dividindo ambos os lados por
. Como dividi por um número negativo, o sinal da desigualdade mudaria se estivéssemos manipulando uma desigualdade — aqui ainda era igualdade, então não houve inversão; depois, quando transformarmos a desigualdade, teremos atenção a essa inversão (veja passos seguintes).
Passo 3
Vamos encontrar pontos simples por onde passa a reta (interceptos), porque isso facilita o traço no papel.
- Intercepto em
(quando ):
Logo a reta passa por
.
- Intercepto em
(quando ):
Logo a reta passa por
(que é
em decimal).
Esses dois pontos são suficientes para traçar a reta.
Passo 4
Calcular a inclinação (coeficiente angular) para entender a inclinação da reta:
Da forma fica claro que o coeficiente angular é
Da forma
Interpretação: ao andar 1 unidade em
para a direita,
aumenta
unidades. No desenho, a reta sobe fortemente para a direita.
Passo 5
Instruções passo a passo para esboçar a reta no papel (faça isso devagar — é fácil e rápido):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto
no eixo . - Marque o ponto
no eixo (um pouco à esquerda de ). - Trace uma reta passando por esses dois pontos.
- Como a desigualdade original permite igualdade (
), desenhe essa reta como uma linha contínua (não tracejada).
Passo 6
Agora decidimos qual lado da reta corresponde à desigualdade
.
Método prático (teste de ponto): escolha um ponto fácil que não esteja sobre a reta, por exemplo a origem
. Substitua na expressão da desigualdade:
o resultado é verdadeiro, portanto a origem pertence à região solução. Conclusão: sombreie o semiplano que contém a origem.
Método algébrico (verificando a forma isolada): a desigualdade pode ser manipulada para
:
onde na última etapa dividi por
e, por dividir por negativo, invertemos o sinal da desigualdade. Isso confirma: a região solução é o conjunto de pontos que estão no lado da reta com valores de
menores ou iguais a
— ou seja, “embaixo” da reta (incluindo a reta).
Passo 7
Verificações adicionais (para ganhar confiança):
- Ponto
: → pertence (fica no semiplano sombreado). - Ponto
: → não pertence (fica do outro lado).
Esses testes confirmam que o semiplano contendo a origem é o correto.
Passo 8
Resumo do que desenhar e anotar no esboço:
- Reta fronteira:
ou , traçada como linha contínua. - Dois pontos para marcar:
e . - Região solução: semiplano abaixo da reta (incluindo a reta), ou seja todos os pontos com
. Sombreie essa região (a qual contém a origem).
Resposta
Esboço: reta contínua