Reescreva a integral
na ordem
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R.:
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Passo 1
Então, galera, vamos lá! Temos uma integral tripla que precisa ser reescrita numa ordem diferente de integração. A integral original é:
Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com a troca de ordem de integração em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração definida pelos limites originais. Temos três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Os limites são:
- $ x $ varia de 0 a 4.
- Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \frac{4 - x}{2} $.
- Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ \frac{12 - 3x - 6y}{4} $.
Isso define um volume no espaço tridimensional onde vamos calcular a integral.
Passo 3
Nosso objetivo é reescrever a integral na ordem $ dy, dx, dz $. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para cada variável nessa nova ordem. Isso envolve:
- Fixar $ z $ e encontrar os limites para $ x $ e $ y $ em termos de $ z $.
- Analisar como $ x $ varia para cada $ z $.
- Determinar como $ y $ varia para cada par $ (x, z) $.
Passo 4
Começando com $ z $, observamos que no limite superior original:
Podemos rearranjar isso para expressar $ y $ em termos de $ x $ e $ z $:
Isso nos ajuda a estabelecer o novo limite para $ y $.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites para $ x $. Originalmente, $ x $ varia de 0 a 4, mas com a presença de $ z $, precisamos ajustar esse intervalo. Se $ y \geq 0 $, então:
Resolvendo para $ x $:
Portanto, para cada $ z $, $ x $ varia de 0 a $ \frac{12 - 4z}{3} $.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar os limites para $ z $. Observando a expressão original para $ z $:
Quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, temos $ z = \frac{12}{4} = 3 $. E quando $ z = 0 $, a condição $ 3x + 4z \leq 12 $ reduz a $ 3x \leq 12 \Rightarrow x \leq 4 $. Portanto, $ z $ varia de 0 a 3.
Resposta
Reescrevendo a integral na ordem $ dy, dx, dz $, temos: