Reescreva a integral integral0^4 integral0^4-x2 integral0^12-3 x-6 y4 d z d y d x na ordem d y d x d z.
R.: integral0^3 integral0^12-4 z3 integral0^12-3 x-4 z6 d y d x d z.

Passo 1

Então, galera, vamos lá! Temos uma integral tripla que precisa ser reescrita numa ordem diferente de integração. A integral original é:
integral0^4 integral0^4-x2 integral0^12-3x-6y4 dz, dy, dx
Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com a troca de ordem de integração em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração definida pelos limites originais. Temos três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Os limites são:
  • $ x $ varia de 0 a 4.
  • Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \frac{4 - x}{2} $.
  • Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ \frac{12 - 3x - 6y}{4} $.
Isso define um volume no espaço tridimensional onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Nosso objetivo é reescrever a integral na ordem $ dy, dx, dz $. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para cada variável nessa nova ordem. Isso envolve:
  1. Fixar $ z $ e encontrar os limites para $ x $ e $ y $ em termos de $ z $.
  2. Analisar como $ x $ varia para cada $ z $.
  3. Determinar como $ y $ varia para cada par $ (x, z) $.

Passo 4

Começando com $ z $, observamos que no limite superior original:
z
Podemos rearranjar isso para expressar $ y $ em termos de $ x $ e $ z $:
z = 12 - 3x - 6y4
Isso nos ajuda a estabelecer o novo limite para $ y $.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites para $ x $. Originalmente, $ x $ varia de 0 a 4, mas com a presença de $ z $, precisamos ajustar esse intervalo. Se $ y \geq 0 $, então:
x
Resolvendo para $ x $:
x
Portanto, para cada $ z $, $ x $ varia de 0 a $ \frac{12 - 4z}{3} $.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar os limites para $ z $. Observando a expressão original para $ z $:
z
Quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, temos $ z = \frac{12}{4} = 3 $. E quando $ z = 0 $, a condição $ 3x + 4z \leq 12 $ reduz a $ 3x \leq 12 \Rightarrow x \leq 4 $. Portanto, $ z $ varia de 0 a 3.

Resposta

Reescrevendo a integral na ordem $ dy, dx, dz $, temos:
dy, dx, dz

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