Faça um esboço da região limitada pelas curvas e determine a área desta região.
y=14 x^2, y=2 x^2, x+y=3, x >= 0

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pelas curvas
y=tfrac14x^2, y=2x^2, x+y=3, x>=0
e sua área. O conteúdo aqui é cálculo de área de região plana usando integrais, identificando interseções e montando integrais apropriadas.

Passo 2

Primeiro vemos onde as duas parábolas se intersectam resolvendo
tfrac14x^2=2x^2;Longrightarrow;x^2l(tfrac14-2r)=0;Longrightarrow;x=0,
logo o único ponto comum é (0,0).

Passo 3

Agora achamos onde cada parábola cruza a reta x+y=3.
Para y=tfrac14x^2 temos
x+tfrac14x^2=3;Longrightarrow;x^2+4x-12=0;Longrightarrow;x=2;(x>=0),;y=1,
rá ainda o ponto (2,1).
Para y=2x^2 temos
x+2x^2=3;Longrightarrow;2x^2+x-3=0;Longrightarrow;x=1;(x>=0),;y=2,
dando o ponto (1,2).
Esboço da região: é o “triângulo” curvo com vértices em (0,0), (1,2), (2,1), limitado acima por y=2x^2 de x=0 a x=1, depois pela reta até (2,1), e abaixo por y=tfrac14x^2.

Passo 4

Para montar a integral dividimos em dois trechos de x:
  1. De x=0 a x=1: o teto da região é y=2x^2 e o piso é y=tfrac14x^2.
  2. De x=1 a x=2: o teto passa a ser a reta y=3-x e o piso continua y=tfrac14x^2.

Passo 5

Calculamos a área de 0 a 1:
A1=integral0^1l(2x^2-tfrac14x^2r),dx =integral0^1tfrac74x^2,dx =tfrac74cdottfracx^33|0^1 =tfrac712

Passo 6

Calculamos a área de 1 a 2:
A2=integral1^2l((3-x)-tfrac14x^2r),dx =integral1^2l(3-x-tfrac14x^2r),dx
A primitiva é
3x-tfrac12x^2-tfrac112x^3,
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A2=l[3x-tfrac12x^2-tfrac112x^3r]1^2 =l(6-2-tfrac812r)-l(3-tfrac12-tfrac112r) =tfrac1112

Resposta

Somando, a área total é
A=A1+A2=tfrac712+tfrac1112=tfrac1812=tfrac32

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