Faça um esboço da região limitada pelas curvas e determine a área desta região.
Passo 1
O enunciado pede a região limitada pelas curvas
e sua área. O conteúdo aqui é cálculo de área de região plana usando integrais, identificando interseções e montando integrais apropriadas.
Passo 2
Primeiro vemos onde as duas parábolas se intersectam resolvendo
logo o único ponto comum é
.
Passo 3
Agora achamos onde cada parábola cruza a reta
.
Para temos
Para
rá ainda o ponto
.
Para temos
Para
dando o ponto
.
Esboço da região: é o “triângulo” curvo com vértices em ,
,
, limitado acima por
de
a
, depois pela reta até
, e abaixo por
.
Esboço da região: é o “triângulo” curvo com vértices em
Passo 4
Para montar a integral dividimos em dois trechos de
:
- De
a : o teto da região é e o piso é . - De
a : o teto passa a ser a reta e o piso continua .
Passo 5
Calculamos a área de
a
:
Passo 6
Calculamos a área de
1 a
2 :
A primitiva é
logo
Resposta
Somando, a área total é