Faça um esboço da região limitada pelas curvas e determine a área desta região.
y=sen x, y=e^x, x=0, x=pi2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
y=sin x, y=e^x, x=0 e x=tfracpi2,
e depois calcular a área dessa região. Vamos usar integração definida da diferença das funções.

Passo 2

Para esboçar, observamos alguns pontos-chaves:
– Em x=0: sin0=0 e e^0=1.
– Em x=tfracpi2: sinl(tfracpi2r)=1 e e^pi/2approx4,81.
Logo, em todo o intervalo [0,tfracpi2] temos
e^x>sin x,
ou seja, a curva y=e^x fica acima da curva y=sin x. A região é o “facheiro” vertical entre essas duas curvas de x=0 a x=tfracpi2.

Passo 3

Como y=e^x é a função superior e y=sin x é a inferior no intervalo dado, a área A é
A = integral0^pi2l[e^x - sin xr],dx

Passo 4

Calculamos a primitiva:
integral e^x,dx = e^x, integral sin x,dx = -cos x,
portanto
integral l[e^x - sin xr],dx = e^x + cos x + C

Passo 5

Avaliaremos de 0 a tfracpi2:
A = l[e^x + cos xr]0^pi2 = l(e^pi2 + cos!tfracpi2r) - l(e^0 + cos0r) = e^pi2 + 0 - (1 + 1) = e^pi2 - 2

Resposta

A área da região é
e^pi2 - 2

Exercícios relacionados