Faça um esboço da região limitada pelas curvas e determine a área desta região.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos desenhar as curvas das funções
e
, identificar a região que elas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre gráficos de funções e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas:
-
: Essa é uma função raiz quadrada que foi deslocada 3 unidades para a esquerda. Isso significa que o gráfico começa no ponto . -
: Essa é uma linha reta com inclinação e intercepta o eixo no ponto .
Passo 3
Para saber exatamente onde essas duas curvas se encontram, ou seja, para encontrar os pontos de interseção, vamos igualar as duas funções:
Passo 4
Vamos resolver essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Expandindo:
Passo 6
Rearranjando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Então:
Isso resulta em duas soluções:
Passo 8
Agora, encontramos os pontos de interseção substituindo os valores de
nas funções:
- Para
:
Ponto:
- Para
:
Ponto:
Passo 9
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual curva está acima da outra entre
e
. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 10
Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte integral definida da diferença entre as funções:
Passo 11
Vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Definindo
, então
. Quando
,
e quando
,
. A integral fica:
Passo 12
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 13
Substituindo na integral:
Vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 4.
Passo 14
Calculando para
:
Para
:
Passo 15
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.