Faça um esboço da região limitada pelas curvas e determine a área desta região.
y=raizx+3, y=(x+3) / 2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos desenhar as curvas das funções y = raizx + 3 e y = x + 32 , identificar a região que elas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre gráficos de funções e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas:
  • y = raizx + 3 : Essa é uma função raiz quadrada que foi deslocada 3 unidades para a esquerda. Isso significa que o gráfico começa no ponto x = -3 .
  • y = x + 32 : Essa é uma linha reta com inclinação 12 e intercepta o eixo y no ponto ( -3, 0 ) .

Passo 3

Para saber exatamente onde essas duas curvas se encontram, ou seja, para encontrar os pontos de interseção, vamos igualar as duas funções:
raizx + 3 = x + 32

Passo 4

Vamos resolver essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(raizx + 3)^2 = ( x + 32 )^2
Simplificando:
x + 3 = (x + 3)^24

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
4(x + 3) = (x + 3)^2
Expandindo:
4x + 12 = x^2 + 6x + 9

Passo 6

Rearranjando todos os termos para um lado da equação:
x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 = 0
Simplificando:
x^2 + 2x - 3 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 2 e c = -3 .
Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = 2^2 - 4 times 1 times (-3) = 4 + 12 = 16
Então:
x = -2 pm 42
Isso resulta em duas soluções:
x = 1 e x = -3

Passo 8

Agora, encontramos os pontos de interseção substituindo os valores de x nas funções:
  • Para x = 1 :
y = raiz1 + 3 = 2 e y = 1 + 32 = 2
Ponto: (1, 2)
  • Para x = -3 :
y = raiz-3 + 3 = 0 e y = -3 + 32 = 0
Ponto: (-3, 0)

Passo 9

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual curva está acima da outra entre x = -3 e x = 1 . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0 :
y = raiz0 + 3 approx 1.732 e y = 0 + 32 = 1.5
Então, y = raizx + 3 está acima de y = x + 32 nesse intervalo.

Passo 10

Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte integral definida da diferença entre as funções:
A = integral-3^1 ( raizx + 3 - x + 32 ) dx

Passo 11

Vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Definindo u = x + 3 , então du = dx . Quando x = -3 , u = 0 e quando x = 1 , u = 4 . A integral fica:
A = integral0^4 ( raizu - u2 ) du

Passo 12

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral raizu , du = 23 u^3/2
integral u2 , du = 14 u^2

Passo 13

Substituindo na integral:
A = [ 23 u^3/2 - u^24 ]0^4
Vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 4.

Passo 14

Calculando para u = 4 :
23 times 4^3/2 - 4^24 = 23 times 8 - 4 = 163 - 4 = 163 - 123 = 43
Para u = 0 :
23 times 0 - 04 = 0

Passo 15

Subtraindo os valores:
A = 43 - 0 = 43

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 43 unidades de área.

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