Faça um esboço da região limitada pelas curvas e determine a área desta região.
y=sin x, y=2 x / pi, x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y=sin x e y=2xpi para x>=0.
O conteúdo é integração para área entre curvas, e vamos precisar achar os pontos de interseção, ver qual função fica “por cima” e montar a integral apropriada.

Passo 2

Determinamos os pontos em que
sin x = 2xpi
em x>=0. De imediato x=0 é solução. Procurando outra solução nota-se que em x=pi2 vale
sin!l(tfracpi2r)=1, 2pi,pi2=1,
logo x=pi2 é o segundo ponto de interseção. Não há outras em x>=0.

Passo 3

Para ver qual curva fica acima no intervalo l[0,pi2r], basta testar um valor, por exemplo x=1:
sin1approx0,84 e 2cdot1piapprox0,64, logo sin x>=2xpi.
Portanto a área A é
A=integral0^pi/2l(sin x - tfrac2xpir),dx

Passo 4

Calculamos separadamente:
integral0^pi/2sin x,dx =l[-cos xr]0^pi/2 =1,
integral0^pi/2x,dx =l[tfracx^22r]0^pi/2 =(pi/2)^22 =pi^28
Logo
A =1 ;-;2pi,pi^28 =1-pi4

Resposta

A área da região é
1-pi4

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