Faça o esboço da região D no plano cartesiano e descreva D como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
D é a região do primeiro quadrante no plano-xy delimitada pela curva de equação x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D = (x,y) no primeiro quadrante : x^2 + y^2 <= 4
e dizer se ela é do tipo I (aqui: “verticalmente simples”, ou seja, fixo x varia y) ou do tipo II (“horizontalmente simples”, fixo y varia x).
Conteúdo: descrição de regiões para integrais duplas.
O que precisamos:
  1. saber o que é x^2+y^2=4 (um círculo de raio 2 centrado na origem),
  2. entender definição de região tipo I e tipo II,
  3. esboçar o quarto de círculo no 1º quadrante.

Passo 2

Esboçando a região:
  • Desenha-se o eixo x e o eixo y.
  • Marca-se no eixo x o ponto 2 (pois x^2=4implies x=2) e no eixo y o ponto 2.
  • Desenha-se o arco do círculo x^2+y^2=4 unindo (2,0) a (0,2), só no 1º quadrante.
  • A região D é tudo que está dentro desse arco e acima dos eixos, formando um “quarto de pizza”.

Passo 3

Região do tipo I (verticalmente simples):
Nesse caso a gente escreve
0 ,<= x ,<= 2, 0 ,<= y ,<= raiz4 - x^2
Isto é, para cada x entre 0 e 2, y vai de 0 até a curva y=raiz4 - x^2.

Passo 4

Região do tipo II (horizontalmente simples):
Aqui descrevemos por faixas de y:
0 ,<= y ,<= 2, 0 ,<= x ,<= raiz4 - y^2
Ou seja, para cada y entre 0 e 2, x vai de 0 até a curva x=raiz4 - y^2.

Resposta

A região D é um quarto de disco de raio 2 no 1º quadrante e pode ser descrita
– como tipo I:
D=(x,y):0<= x<=2,;0<= y<=raiz4-x^2,
– ou como tipo II:
D=(x,y):0<= y<=2,;0<= x<=raiz4-y^2

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