Faça o esboço da região
no plano cartesiano e descreva
como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
é a região do primeiro quadrante no plano-xy delimitada pela curva de equação
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região
e dizer se ela é do tipo I (aqui: “verticalmente simples”, ou seja, fixo
varia
) ou do tipo II (“horizontalmente simples”, fixo
varia
).
Conteúdo: descrição de regiões para integrais duplas.
O que precisamos:
Conteúdo: descrição de regiões para integrais duplas.
O que precisamos:
- saber o que é
(um círculo de raio 2 centrado na origem), - entender definição de região tipo I e tipo II,
- esboçar o quarto de círculo no 1º quadrante.
Passo 2
Esboçando a região:
- Desenha-se o eixo
e o eixo . - Marca-se no eixo
o ponto (pois ) e no eixo o ponto . - Desenha-se o arco do círculo
unindo a , só no 1º quadrante. - A região
é tudo que está dentro desse arco e acima dos eixos, formando um “quarto de pizza”.
Passo 3
Região do tipo I (verticalmente simples):
Nesse caso a gente escreve
Nesse caso a gente escreve
Isto é, para cada
entre 0 e 2,
vai de 0 até a curva
.
Passo 4
Região do tipo II (horizontalmente simples):
Aqui descrevemos por faixas de :
Aqui descrevemos por faixas de
Ou seja, para cada
entre 0 e 2,
vai de 0 até a curva
.
Resposta
A região
é um quarto de disco de raio 2 no 1º quadrante e pode ser descrita
– como tipo I:
– como tipo I:
– ou como tipo II: