Duas raízes de uma equação auxiliar cúbica com coeficientes reais são
e
. Qual é a equação diferencial linear homogênea correspondente? Discuta: essa é a única resposta?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma equação diferencial linear homogênea de 3ª ordem com coeficientes reais, e que a “equação auxiliar” (ou característica) dessa EDO tem duas raízes conhecidas:
O que a gente precisa fazer é descobrir qual é essa equação diferencial (isto é, escrever os coeficientes da EDO) a partir dessas raízes. Para isso vamos usar:
- A teoria da equação característica de uma EDO com coeficientes constantes.
- O fato de que, se os coeficientes são reais, raízes complexas vêm em par conjugado.
- Como montar e expandir um polinômio a partir das suas raízes.
Passo 2
Primeiro passo prático: já que os coeficientes são reais, toda raiz complexa aparece com sua conjugada. Então, além de
, a terceira raiz é
Agora temos as três raízes da característica:
Passo 3
Achar o polinômio característico é montar
Substituindo:
Repare que
, porque
. Logo:
Então a característica é
Passo 4
Vamos expandir
:
Juntando termos semelhantes:
A equação característica é, então,
Numa EDO de coeficientes constantes, essa característica corresponde a:
(Se quiser todos os coeficientes inteiros, multiplica tudo por 2:
)
Passo 5
Sobre a pergunta “essa é a única resposta?”:
Na prática, sim, esses coeficientes (até um fator constante) são únicos para dar exatamente aquelas raízes. Mas como a EDO só é definida “até multiplicar por uma constante não-nula”, qualquer múltiplo escalar da equação acima também vale. Por exemplo, tanto
Na prática, sim, esses coeficientes (até um fator constante) são únicos para dar exatamente aquelas raízes. Mas como a EDO só é definida “até multiplicar por uma constante não-nula”, qualquer múltiplo escalar da equação acima também vale. Por exemplo, tanto
quanto
são equivalentes: têm as mesmas raízes na característica.
Resposta
Uma forma mais simples (com inteiros) é:
Essa equação (ou qualquer múltiplo escalar dela) é a única que gera exatamente as raízes dadas.