Duas raízes de uma equação auxiliar cúbica com coeficientes reais são m1=-1 / 2 e m2=3+i. Qual é a equação diferencial linear homogênea correspondente? Discuta: essa é a única resposta?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma equação diferencial linear homogênea de 3ª ordem com coeficientes reais, e que a “equação auxiliar” (ou característica) dessa EDO tem duas raízes conhecidas:
m1=-tfrac12e m2=3+i
O que a gente precisa fazer é descobrir qual é essa equação diferencial (isto é, escrever os coeficientes da EDO) a partir dessas raízes. Para isso vamos usar:
  1. A teoria da equação característica de uma EDO com coeficientes constantes.
  2. O fato de que, se os coeficientes são reais, raízes complexas vêm em par conjugado.
  3. Como montar e expandir um polinômio a partir das suas raízes.

Passo 2

Primeiro passo prático: já que os coeficientes são reais, toda raiz complexa aparece com sua conjugada. Então, além de m2=3+i, a terceira raiz é
m3=3-i
Agora temos as três raízes da característica:
m1=-tfrac12, m2=3+i, m3=3-i

Passo 3

Achar o polinômio característico é montar
(m - m1),(m - m2),(m - m3)=0
Substituindo:
l(m + tfrac12r),l(m-(3+i)r),l(m-(3-i)r)=0
Repare que (m-(3+i))(m-(3-i))=(m-3)^2+(1), porque (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2. Logo:
(m-(3+i))(m-(3-i)) =(m-3)^2+1 =m^2-6m+9+1 =m^2-6m+10
Então a característica é
(m + tfrac12)(m^2 - 6m + 10)=0

Passo 4

Vamos expandir (m + tfrac12)(m^2 - 6m + 10):
m,(m^2-6m+10)+tfrac12,(m^2-6m+10) =m^3-6m^2+10m + tfrac12m^2 -3m +5
Juntando termos semelhantes:
m^3 - l(6-tfrac12r)m^2 + (10-3)m +5 = m^3 - tfrac112m^2 +7m +5
A equação característica é, então,
m^3 - 112,m^2 + 7,m + 5 = 0
Numa EDO de coeficientes constantes, essa característica corresponde a:
y''' - 112,y'' + 7,y' + 5,y = 0
(Se quiser todos os coeficientes inteiros, multiplica tudo por 2:
2y''' -11y'' +14y' +10y=0
)

Passo 5

Sobre a pergunta “essa é a única resposta?”:
Na prática, sim, esses coeficientes (até um fator constante) são únicos para dar exatamente aquelas raízes. Mas como a EDO só é definida “até multiplicar por uma constante não-nula”, qualquer múltiplo escalar da equação acima também vale. Por exemplo, tanto
y'''-tfrac112y''+7y'+5y=0
quanto
2y'''-11y''+14y'+10y=0
são equivalentes: têm as mesmas raízes na característica.

Resposta

Uma forma mais simples (com inteiros) é:
boxed2,y''' ;-;11,y'';+;14,y';+;10,y ;=;0
Essa equação (ou qualquer múltiplo escalar dela) é a única que gera exatamente as raízes dadas.

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