Utilizando o conceito de coeficiente angular, determine o valor de
para que os pontos
e
sejam colineares.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano cartesiano e pede para encontrar o valor de
tal que esses três pontos sejam colineares. Informações fornecidas:
- Ponto
. - Ponto
. - Ponto
.
Pergunta a responder: determinar o valor depara que , e sejam colineares.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o coeficiente angular (inclinação, slope) entre dois pontos
e
é dado por
Aqui
é a inclinação da reta que passa pelos dois pontos. Significado das variáveis:
-
são as abscissas (coordenadas ) dos dois pontos; -
são as ordenadas (coordenadas ) dos dois pontos.
Observação importante: sea fração fica indefinida — isso significa que a reta é vertical (equação constante). Nesse caso testamos colinearidade de outra forma (veremos abaixo).
Se três pontos
são colineares, a inclinação entre
e
é igual à inclinação entre
e
(ou entre
e
). Portanto podemos calcular uma dessas inclinações com os pontos conhecidos e igualar à inclinação envolvendo
.
Passo 3
Calcular a inclinação da reta que passa por
e
. Usando a fórmula com
e
:
Portanto a inclinação da reta
é
.
Passo 4
Agora calcule a inclinação da reta que passa por
e
. Aplicando a fórmula:
Antes de igualar, verificamos o caso especial
: se
então
e
teriam a mesma abscissa (reta vertical
), mas
tem abscissa
diferente, logo não seriam colineares. Portanto
e podemos usar a fórmula normalmente.
Para que
sejam colineares, imponha
:
Passo 5
Resolver a equação passo a passo:
Multiplicando em cruz:
Ou seja:
Isolando
:
Passo 6
Verificação rápida: para
,
que coincide com
. Logo com
os três pontos estão na mesma reta. Também lembramos que
foi excluído porque produziria reta vertical entre
e
enquanto
não estaria nela.