Utilizando o conceito de coeficiente angular, determine o valor de a para que os pontos A=(a, 5), B=(-2,3) e C=(4,1) sejam colineares.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano cartesiano e pede para encontrar o valor de a tal que esses três pontos sejam colineares. Informações fornecidas:
  • Ponto A=(a,5).
  • Ponto B=(-2,3).
  • Ponto C=(4,1).
    Pergunta a responder: determinar o valor de a para que A, B e C sejam colineares.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o coeficiente angular (inclinação, slope) entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m é a inclinação da reta que passa pelos dois pontos. Significado das variáveis:
  • x_1,x_2 são as abscissas (coordenadas x) dos dois pontos;
  • y_1,y_2 são as ordenadas (coordenadas y) dos dois pontos.
    Observação importante: se x_2-x_1=0 a fração fica indefinida — isso significa que a reta é vertical (equação x= constante). Nesse caso testamos colinearidade de outra forma (veremos abaixo).
Se três pontos A,B,C são colineares, a inclinação entre A e B é igual à inclinação entre B e C (ou entre A e C). Portanto podemos calcular uma dessas inclinações com os pontos conhecidos e igualar à inclinação envolvendo a.

Passo 3

Calcular a inclinação da reta que passa por B e C. Usando a fórmula com B=(-2,3) e C=(4,1):
m_{BC}=\frac{1-3}{4-(-2)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}.
Portanto a inclinação da reta BC é -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora calcule a inclinação da reta que passa por A=(a,5) e B=(-2,3). Aplicando a fórmula:
m_{AB}=\frac{5-3}{a-(-2)}=\frac{2}{a+2}.
Antes de igualar, verificamos o caso especial a=-2: se a=-2 então A e B teriam a mesma abscissa (reta vertical x=-2), mas C tem abscissa 4 diferente, logo não seriam colineares. Portanto a\neq-2 e podemos usar a fórmula normalmente.
Para que A,B,C sejam colineares, imponha m_{AB}=m_{BC}:
\frac{2}{a+2}=-\frac{1}{3}.

Passo 5

Resolver a equação passo a passo:
\frac{2}{a+2}=-\frac{1}{3}
Multiplicando em cruz:
2\cdot 3 = -1\cdot (a+2).
Ou seja:
6 = -a-2.
Isolando a:
6+2 = -a \quad\Rightarrow\quad 8 = -a \quad\Rightarrow\quad a=-8.

Passo 6

Verificação rápida: para a=-8,
m_{AB}=\frac{5-3}{-8-(-2)}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3},
que coincide com m_{BC}=-\tfrac{1}{3}. Logo com a=-8 os três pontos estão na mesma reta. Também lembramos que a=-2 foi excluído porque produziria reta vertical entre A e B enquanto C não estaria nela.

Resposta

a=-8

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