Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
R:\left\{\begin{array}{l}y<2 x \\\ y+x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede um esboço (um desenho) das regiões do plano que satisfazem simultaneamente as duas inequações:
\left\{\begin{array}{l} y<2x\\[4pt] y+x\geq 0 \end{array}\right.
Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado 1: a condição \,y<2x\,.
  • Dado 2: a condição \,y+x\geq 0\, (equivalente a \,y\geq -x\,).
  • Pedido: desenhar (esboçar) no plano cartesiano a região onde as duas condições valem ao mesmo tempo.]

Passo 2

Interpretar cada inequação geometricamente (isso é essencial para desenhar).
  • A igualdade \,y=2x\, é uma reta passando pela origem com coeficiente angular 2 (ou seja, sobe 2 unidades de y para cada 1 unidade em x). A inequação \,y<2x\, corresponde ao conjunto dos pontos estritamente abaixo dessa reta (não inclui a reta porque é estrita).
  • A igualdade \,y=-x\, é uma reta passando pela origem com coeficiente angular -1 (desce 1 unidade de y para cada 1 unidade em x). A inequação \,y\geq -x\, corresponde ao conjunto dos pontos sobre ou acima dessa reta (inclui a reta porque é \geq).
Dica prática para desenhar: traçar as duas retas pelo ponto origem e pelas inclinações; a reta com inclinação 2 ficará mais “íngreme” que a reta com inclinação -1.

Passo 3

Decidir, para cada reta, se devemos desenhar a fronteira sólida ou tracejada e qual lado sombrear.
  • Para \,y=2x\, a fronteira é tracejada (porque \,< é estrito). Sombreia-se o lado onde os pontos satisfazem y<2x.
  • Para \,y=-x\, a fronteira é sólida (porque \,\geq permite igualdade). Sombreia-se o lado onde y\geq -x.
Um teste rápido para saber qual lado sombrear: escolher um ponto teste simples (por exemplo, (1,0)) e verificar as desigualdades.

Passo 4

Testes com pontos para entender o posicionamento:
  • Teste (1,0): \,0<2\cdot1 é verdadeiro e \,0+1\geq0 é verdadeiro. Assim (1,0) pertence à região procurada — isso confirma que a região está no lado direito do plano, entre as duas retas.
  • Teste (0,1): \,1<0 é falso, logo (0,1) não pertence; isso indica que a região não está acima da reta y=2x perto do eixo y.
  • Teste (-1,0): \,0< -2 é falso, logo pontos com x<0 tendem a não entrar — vamos verificar isso analiticamente no próximo passo.

Passo 5

Encontrar analiticamente a interseção das duas metades-planos (ou seja, quando existe y tal que -x\leq y<2x).
Para que exista algum y que satisfaça simultaneamente -x\leq y e y<2x é necessário que o intervalo [\,-x,\;2x\,) seja não vazio. Logo:
-x \le 2x \quad\Longrightarrow\quad 0 \le 3x \quad\Longrightarrow\quad x \ge 0.
Quando x=0 as condições ficam \,0\le y<0, o que não tem solução (intervalo vazio). Portanto, só há pontos da região quando
x>0.
Para cada x>0 os pontos y válidos são exatamente aqueles que satisfazem
-x \le y < 2x.
Conclusão concreta: a região é o “canto” (o setor) formado entre as duas retas \,y=-x e \,y=2x para x>0; a reta \,y=-x faz parte da região (inclusa), a reta \,y=2x não faz parte (excluída), e o vértice na origem (0,0) também não pertence (porque em x=0 não existe y satisfazendo ambas).

Passo 6

Instruções finais para o esboço (para fazer no papel):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Traçar a reta \,y=2x\, passando pela origem com inclinação 2. Marcar-a com TRACEJADO (porque \,<).
  3. Traçar a reta \,y=-x\, passando pela origem com inclinação -1. Marcar-a com TRAÇO SÓLIDO (porque \,\geq).
  4. Sombrear a região entre essas retas, mas apenas para o lado com x>0: isso aparece como um setor aberto na origem, que se abre para a direita infinito. A borda inferior (reta \,y=-x\,) deve estar pintada (inclusa); a borda superior (reta \,y=2x\,) deve permanecer tracejada (não incluída). Não pintar o ponto (0,0).
Se quiser um lembrete visual: imagine duas semirretas saindo da origem — uma com inclinação -1 (inclusa) e outra com inclinação 2 (excluída) — e tome o conjunto de pontos entre elas, mas apenas para a direita do eixo y (isto é, x>0).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0,\\\ -x\le y<2x\}

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