Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede um esboço (um desenho) das regiões do plano que satisfazem simultaneamente as duas inequações:
Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado 1: a condição
. - Dado 2: a condição
(equivalente a ). - Pedido: desenhar (esboçar) no plano cartesiano a região onde as duas condições valem ao mesmo tempo.]
Passo 2
Interpretar cada inequação geometricamente (isso é essencial para desenhar).
- A igualdade
é uma reta passando pela origem com coeficiente angular (ou seja, sobe 2 unidades de para cada 1 unidade em ). A inequação corresponde ao conjunto dos pontos estritamente abaixo dessa reta (não inclui a reta porque é estrita). - A igualdade
é uma reta passando pela origem com coeficiente angular (desce 1 unidade de para cada 1 unidade em ). A inequação corresponde ao conjunto dos pontos sobre ou acima dessa reta (inclui a reta porque é ).
Dica prática para desenhar: traçar as duas retas pelo ponto origem e pelas inclinações; a reta com inclinação
ficará mais “íngreme” que a reta com inclinação
.
Passo 3
Decidir, para cada reta, se devemos desenhar a fronteira sólida ou tracejada e qual lado sombrear.
- Para
a fronteira é tracejada (porque é estrito). Sombreia-se o lado onde os pontos satisfazem . - Para
a fronteira é sólida (porque permite igualdade). Sombreia-se o lado onde .
Um teste rápido para saber qual lado sombrear: escolher um ponto teste simples (por exemplo,
) e verificar as desigualdades.
Passo 4
Testes com pontos para entender o posicionamento:
- Teste
: é verdadeiro e é verdadeiro. Assim pertence à região procurada — isso confirma que a região está no lado direito do plano, entre as duas retas. - Teste
: é falso, logo não pertence; isso indica que a região não está acima da reta perto do eixo . - Teste
: é falso, logo pontos com tendem a não entrar — vamos verificar isso analiticamente no próximo passo.
Passo 5
Encontrar analiticamente a interseção das duas metades-planos (ou seja, quando existe
tal que
).
Para que exista algum que satisfaça simultaneamente
e
é necessário que o intervalo
seja não vazio. Logo:
Para que exista algum
Quando
as condições ficam
, o que não tem solução (intervalo vazio). Portanto, só há pontos da região quando
Para cada
os pontos
válidos são exatamente aqueles que satisfazem
Conclusão concreta: a região é o “canto” (o setor) formado entre as duas retas
e
para
; a reta
faz parte da região (inclusa), a reta
não faz parte (excluída), e o vértice na origem
também não pertence (porque em
não existe
satisfazendo ambas).
Passo 6
Instruções finais para o esboço (para fazer no papel):
- Desenhar os eixos
e . - Traçar a reta
passando pela origem com inclinação . Marcar-a com TRACEJADO (porque ). - Traçar a reta
passando pela origem com inclinação . Marcar-a com TRAÇO SÓLIDO (porque ). - Sombrear a região entre essas retas, mas apenas para o lado com
: isso aparece como um setor aberto na origem, que se abre para a direita infinito. A borda inferior (reta ) deve estar pintada (inclusa); a borda superior (reta ) deve permanecer tracejada (não incluída). Não pintar o ponto .
Se quiser um lembrete visual: imagine duas semirretas saindo da origem — uma com inclinação
(inclusa) e outra com inclinação
(excluída) — e tome o conjunto de pontos entre elas, mas apenas para a direita do eixo
(isto é,
).