Faça um esboço das seguintes curvas:
alpha(t)=(2 t, 3 t+1), t in[0,1];

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos fazer um esboço da curva definida pela função paramétrica alpha(t) = (2t, 3t + 1), onde t varia de 0 a 1. Isso envolve entender equações paramétricas e como elas descrevem curvas no plano. Para resolver, vamos precisar calcular alguns pontos da curva e entender como esses pontos se conectam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos iniciais e finais da curva. Isso significa calcular alpha(t) para os valores extremos de t, ou seja, t = 0 e t = 1.
  • Para t = 0:
    alpha(0) = (2 times 0, 3 times 0 + 1) = (0, 1)
  • Para t = 1:
    alpha(1) = (2 times 1, 3 times 1 + 1) = (2, 4)
Então, temos os pontos (0, 1) e (2, 4).

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece entre t = 0 e t = 1. Observando as equações paramétricas:
x = 2t e y = 3t + 1
Podemos ver que tanto x quanto y aumentam linearmente conforme t aumenta. Isso indica que a curva é uma reta que liga os pontos (0, 1) e (2, 4).

Passo 4

Para garantir que entendemos a inclinação da reta, podemos calcular a coeficiente angular (m) usando os dois pontos:
m = y2 - y1x2 - x1 = 4 - 12 - 0 = 32
Então, a equação da reta pode ser escrita como:
y = 32x + 1
Isso confirma que a curva é uma linha reta com inclinação 32.

Resposta

O esboço da curva alpha(t) = (2t, 3t + 1) para t in [0, 1] é uma reta que vai do ponto (0, 1) até o ponto (2, 4).

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