Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística
Profª Dra. Rosane Gomes Pereira rosanegope@ufg.br
Aluno: Matrícula:
202206080
ATIVIDADE AVALIATIVA 2 - CÅLCULO 3A
(2,5) Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em que
F(x, y, z)=(87 y+arcsin x) i+e^y^2 j+(3 x+ln (z^2+4)) k
C é o triángulo com vértices (3,0,0),(0,3,0) e (0,0,4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r onde
vec F(x,y,z)=(87y+arcsin x),vec i+e^y^2,vec j+(3x+ln(z^2+4)),vec k e C é o bordo do triângulo de vértices (3,0,0),(0,3,0),(0,0,4). Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
integralCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS,
precisando então de nablatimesvec F e de parametrizar a superfície triangular.

Passo 2

Calculamos o rotacional
nablatimesvec F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,,partial Ppartial z-partial Rpartial x,,partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Como
P=87y+arcsin x, Q=e^y^2, R=3x+ln(z^2+4), obtemos
nablatimesvec F=(0,,-3,,-87)

Passo 3

Para parametrizar a superfície triangular, escolhemos o ponto A=(3,0,0) e vetores na superfície
v1=B-A=(0,3,0)-(3,0,0)=(-3,3,0), v2=C-A=(0,0,4)-(3,0,0)=(-3,0,4)
O vetor normal (não unitário) é
v1times v2=(12,12,9)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes, usando parâmetros u,v em
0<= u<=1, 0<= v<=1-u para cobrir o triângulo, temos
integralCvec Fcdot dvec r=integral duplaD(nablatimesvec F)cdot(v1times v2),du,dv,
onde
$$(\nabla\times\vec F)\cdot(v_1\times v_2)=(0,-3,-87)\cdot(12,12,9)=-819.
(nablatimesvec F)cdot(v1times v2)=(0,-3,-87)cdot(12,12,9)=-819 âáíá
\int_C\vec F\cdot d\vec r=-819\times\frac12=-\frac{819}2.
$$

Resposta

-\frac{819}2

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