Faça o esboço dos seguintes gráficos
f(x)=x^2x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $. Isso envolve entender um pouco de funções racionais, análise de assíntotas, interceptações, e o comportamento da função. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas para analisar como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. Olhando para o denominador $ x^{2} + 4 $, vemos que ele nunca será zero porque $ x^{2} $ é sempre positivo e somando 4 continua positivo. Então, $ f(x) $ está definida para todos os valores de $ x $. Isso significa que o gráfico não terá interrupções ou buracos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações. Para a interceptação com o eixo y, basta calcular $ f(0) $:
f(0)
Então, o gráfico passa pela origem f(0) = 0^20^2 + 4 = 04 = 0 .
Para as interceptações com o eixo x, resolvemos $ f(x) = 0 $:
(0, 0)
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, $ x = 0 $. Então, a única interceptação com o eixo x é também na origem.

Passo 4

Vamos determinar as assíntotas. Uma assíntota horizontal é dada pelo limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $:
f(x)
Então, temos uma assíntota horizontal em $ y = 1 $.
Como o denominador nunca é zero, não há assíntotas verticais.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em torno da origem e próximo à assíntota horizontal. Observamos que:
  • Para $ x $ próximo de 0, $ f(x) $ cresce de 0 em direção a 0, já que o denominador aumenta mais lentamente que o numerador.
  • Conforme $ x $ aumenta (positivamente ou negativamente), $ f(x) $ se aproxima de 1, mas nunca ultrapassa esse valor.

Passo 6

Vamos verificar a derivada para entender se a função está aumentando ou diminuindo:
f'(x) = (2x)(x^2 + 4) - x^2(2x)(x^2 + 4)^2 = 2x(x^2 + 4 - x^2)(x^2 + 4)^2 = 8x(x^2 + 4)^2
A derivada $ f’(x) $ é positiva para $ x > 0 $ e negativa para $ x < 0 $. Isso significa que a função está crescente quando $ x > 0 $ e decrescente quando $ x < 0 $.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Intercepta o eixo y na origem.
  • Assíntota horizontal em $ y = 1 $.
  • Cresce à direita da origem e decresce à esquerda.
  • Nunca ultrapassa a assíntota horizontal.

Resposta

O esboço do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ apresenta uma curva que passa pela origem, acaba se aproximando da linha $ y = 1 $ quando $ x $ vai para positivo ou negativo infinito, sendo crescente para $ x > 0 $ e decrescente para $ x < 0 $.

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