Faça o esboço dos seguintes gráficos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $. Isso envolve entender um pouco de funções racionais, análise de assíntotas, interceptações, e o comportamento da função. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas para analisar como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. Olhando para o denominador $ x^{2} + 4 $, vemos que ele nunca será zero porque $ x^{2} $ é sempre positivo e somando 4 continua positivo. Então, $ f(x) $ está definida para todos os valores de $ x $. Isso significa que o gráfico não terá interrupções ou buracos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações. Para a interceptação com o eixo y, basta calcular $ f(0) $:
Então, o gráfico passa pela origem
.
Para as interceptações com o eixo x, resolvemos $ f(x) = 0 $:
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, $ x = 0 $. Então, a única interceptação com o eixo x é também na origem.
Passo 4
Vamos determinar as assíntotas. Uma assíntota horizontal é dada pelo limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $:
Então, temos uma assíntota horizontal em $ y = 1 $.
Como o denominador nunca é zero, não há assíntotas verticais.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em torno da origem e próximo à assíntota horizontal. Observamos que:
- Para $ x $ próximo de 0, $ f(x) $ cresce de 0 em direção a 0, já que o denominador aumenta mais lentamente que o numerador.
- Conforme $ x $ aumenta (positivamente ou negativamente), $ f(x) $ se aproxima de 1, mas nunca ultrapassa esse valor.
Passo 6
Vamos verificar a derivada para entender se a função está aumentando ou diminuindo:
A derivada $ f’(x) $ é positiva para $ x > 0 $ e negativa para $ x < 0 $. Isso significa que a função está crescente quando $ x > 0 $ e decrescente quando $ x < 0 $.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepta o eixo y na origem.
- Assíntota horizontal em $ y = 1 $.
- Cresce à direita da origem e decresce à esquerda.
- Nunca ultrapassa a assíntota horizontal.
Resposta
O esboço do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ apresenta uma curva que passa pela origem, acaba se aproximando da linha $ y = 1 $ quando $ x $ vai para positivo ou negativo infinito, sendo crescente para $ x > 0 $ e decrescente para $ x < 0 $.