Faça o esboço dos seguintes gráficos
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos esboçar o gráfico da função polinomial de quarto grau
. O conteúdo aqui é comportamento de polinômios – zeros, multiplicidades, sinais, extremos e comportamento assintótico.
Passo 2
Encontrar as raízes e suas multiplicidades. As raízes são
(multiplicidade 1) e
(multiplicidade 3).
Passo 3
Estudar o sinal de
em cada intervalo determinado pelas raízes. Para
, escolhemos
:
. Entre
e
, em
, temos
. Para
, em
,
.
Passo 4
Analisar o comportamento para
. Como é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, temos
tanto para
quanto para
.
Passo 5
Calcular
para achar extremos locais e inflexão. Usando derivação por produto:
Assim
Passo 6
Montar o esboço qualitativo usando todas as informações: zera em
e
, cruza linearmente em
, cruza com achatamento em
, mínimo local em
, e vai para
nas duas extremidades.
Resposta
Descrição do esboço qualitativo:
– Para x→−∞, h(x)→+∞; a curva desce, cruza o eixo x em (−1,0) de forma retilínea; continua descendo até o mínimo local em
.
– Depois do mínimo, h cresce, cruza o eixo x em (1,0) com ponto de inflexão (achatamento) e segue subindo para +∞ conforme x→+∞.
Em um esboço, marcaríamos os pontos (−1,0), (−½,−27/16) e (1,0) e conectaríamos suavemente respeitando o comportamento acima.