Faça o esboço dos seguintes gráficos
h(x)=(x+1)(x-1)^3

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos esboçar o gráfico da função polinomial de quarto grau h(x)=(x+1)(x-1)^3. O conteúdo aqui é comportamento de polinômios – zeros, multiplicidades, sinais, extremos e comportamento assintótico.

Passo 2

Encontrar as raízes e suas multiplicidades. As raízes são x=-1 (multiplicidade 1) e x=1 (multiplicidade 3).

Passo 3

Estudar o sinal de h(x) em cada intervalo determinado pelas raízes. Para x<-1, escolhemos x=-2: h(-2)>0. Entre -1 e 1, em x=0, temos h(0)=-1<0. Para x>1, em x=2, h(2)=3>0.

Passo 4

Analisar o comportamento para xtopminfty. Como é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, temos h(x)to+infty tanto para xto-infty quanto para xto+infty.

Passo 5

Calcular h'(x) para achar extremos locais e inflexão. Usando derivação por produto:
h'(x)=(x-1)^2cdot2(2x+1)
Assim h'(x)=0 em x=-tfrac12 (extremo) e x=1 (ponto de inflexão horizontal, pois a derivada troca de sinal apenas em x=-tfrac12).

Passo 6

Montar o esboço qualitativo usando todas as informações: zera em -1 e 1, cruza linearmente em -1, cruza com achatamento em 1, mínimo local em (-tfrac12,-tfrac2716), e vai para +infty nas duas extremidades.

Resposta

Descrição do esboço qualitativo:
– Para x→−∞, h(x)→+∞; a curva desce, cruza o eixo x em (−1,0) de forma retilínea; continua descendo até o mínimo local em l(-tfrac12,-tfrac2716r).
– Depois do mínimo, h cresce, cruza o eixo x em (1,0) com ponto de inflexão (achatamento) e segue subindo para +∞ conforme x→+∞.
Em um esboço, marcaríamos os pontos (−1,0), (−½,−27/16) e (1,0) e conectaríamos suavemente respeitando o comportamento acima.

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