Faça um esboço das seguintes quádricas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da quádrica
Esse tipo de equação, com dois termos positivos e um negativo igual a
, define um hiperbolóide de uma folha. A variável com sinal negativo é
, portanto o eixo principal da superfície é o eixo
.
Passo 2
Analisando as seções transversais em planos
:
Substituindo na equação, fica
Substituindo
Isso é uma elipse centrada na reta
, com semieixos
Em particular, para
obtemos a elipse
com vértices em
e
. Para
maior, essas elipses crescem em proporção a
.
Passo 3
Agora veja as seções nos planos coordenados:
— Plano :
— Plano
que é uma hipérbole no plano
com vértices em
.
— Plano :
— Plano
outra hipérbole no plano
com vértices em
.
Passo 4
A superfície aproxima-se, para
, da “cone assintótico” obtido ao zerar o lado direito:
Esse cone delimita a forma geral do hiperbolóide.
Passo 5
Esboçando tudo junto, temos:
- Eixo principal ao longo de
. - No corte
, elipse com eixos em e em . - Conecta-se suavemente a elipses maiores conforme
cresce. - Nos cortes
e surgem hipérboles abertas nos eixos e , respectivamente. - O contorno geral lembra um gargalo reto alongado ao longo de
.
Resposta
Um hiperbolóide de uma folha, orientado ao longo do eixo
, com seção elíptica em
de eixos
(direção
) e
(direção
), e hipérboles nos cortes pelos planos coordenados.