Faça um esboço das seguintes quádricas.
-\frac{x^{2}}{9}+y^{2}+\frac{z^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da quádrica
-\,\frac{x^{2}}{9} \;+\; y^{2} \;+\;\frac{z^{2}}{16} \;=\;1.
Esse tipo de equação, com dois termos positivos e um negativo igual a 1, define um hiperbolóide de uma folha. A variável com sinal negativo é x, portanto o eixo principal da superfície é o eixo x.

Passo 2

Analisando as seções transversais em planos x = k:
Substituindo x=k na equação, fica
y^{2} + \frac{z^{2}}{16} \;=\;1 + \frac{k^{2}}{9}.
Isso é uma elipse centrada na reta x=k, com semieixos
a = \sqrt{1 + \frac{k^{2}}{9}}, \qquad b = 4\,\sqrt{1 + \frac{k^{2}}{9}}.
Em particular, para k=0 obtemos a elipse
y^{2} + \frac{z^{2}}{16} = 1,
com vértices em (0,\pm1,0) e (0,0,\pm4). Para \lvert k\rvert maior, essas elipses crescem em proporção a \sqrt{1 + k^{2}/9}.

Passo 3

Agora veja as seções nos planos coordenados:
— Plano z=0:
-\,\frac{x^{2}}{9} + y^{2} =1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} - \frac{x^{2}}{9} =1,
que é uma hipérbole no plano xy com vértices em (0,\pm1,0).
— Plano y=0:
-\,\frac{x^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{16} =1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} =1,
outra hipérbole no plano xz com vértices em (0,0,\pm4).

Passo 4

A superfície aproxima-se, para \lvert x\rvert\to\infty, da “cone assintótico” obtido ao zerar o lado direito:
-\,\frac{x^{2}}{9} + y^{2} + \frac{z^{2}}{16} = 0.
Esse cone delimita a forma geral do hiperbolóide.

Passo 5

Esboçando tudo junto, temos:
  1. Eixo principal ao longo de x.
  2. No corte x=0, elipse (0,y,z) com eixos 1 em y e 4 em z.
  3. Conecta-se suavemente a elipses maiores conforme \lvert x\rvert cresce.
  4. Nos cortes y=0 e z=0 surgem hipérboles abertas nos eixos z e y, respectivamente.
  5. O contorno geral lembra um gargalo reto alongado ao longo de x.

Resposta

Um hiperbolóide de uma folha, orientado ao longo do eixo x, com seção elíptica em x=0 de eixos 1 (direção y) e 4 (direção z), e hipérboles nos cortes pelos planos coordenados.

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