Faça um esboço das seguintes quádricas.
(x-1)^{2}-y^{2}-(z+2)^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da quádrica
(x-1)^{2}-y^{2}-(z+2)^{2}=1.
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e suas interseções com planos coordenados para orientar o desenho.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a mudança de variáveis de translação
X = x - 1,\quad Y = y,\quad Z = z + 2.
Substituindo na equação original obtemos a forma canônica
X^{2} - Y^{2} - Z^{2} = 1.

Passo 3

A forma
X^{2} - Y^{2} - Z^{2} = 1
tem um coeficiente positivo e dois negativos, e está igual a 1. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo X.

Passo 4

Os vértices desse hiperbolóide ocorrem quando Y=0 e Z=0, isto é
X^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad X=\pm1.
Voltando às coordenadas originais, os vértices são
(x,y,z)=(1\pm1,\;0,\;-2)\quad\Longrightarrow\quad(2,0,-2)\text{ e }(0,0,-2).

Passo 5

Para esboçar, observe cortes por planos x=\text{const}. Em cada plano X=\xi com |\xi|>1 a seção é
Y^{2}+Z^{2}=\xi^{2}-1,
ou seja, um círculo de raio \sqrt{\xi^{2}-1}. Não há seção real para |\xi|\le1, portanto aparecem duas folhas separadas: uma para X>1 (isto é, x>2) e outra para X<-1 (isto é, x<0).
Para desenhar:
  1. Marque os vértices em (0,0,-2) e (2,0,-2).
  2. Trace o eixo principal passando por esses vértices, paralelo ao eixo x.
  3. Em planos x=2+\delta e x=0-\delta (com \delta>0) desenhe círculos crescentes de centro em (1,0,-2) projetado no plano de cada corte.
  4. Una suavemente essas curvas, formando duas “folhas” simétricas.

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas, deslocado para o ponto central (1,0,-2), com vértices em (0,0,-2) e (2,0,-2), abrindo ao longo do eixo x.

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