Faça um esboço das seguintes quádricas.
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+\frac{z^{2}}{25}=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da quádrica
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+\frac{z^{2}}{25}=1.
Este é um problema de geometria das superfícies de segundo grau (quádricas). Para esboçar, vamos:
  1. Identificar o tipo de quádrica a partir dos sinais dos coeficientes.
  2. Estudar seções planas (interseções com planos coordenados).
  3. Usar essas seções para desenhar a forma geral.

Passo 2

Classificamos pelos sinais dos coeficientes em
\frac{x^{2}}{4} \;+\;\frac{z^{2}}{25}\;-\;y^{2}\;=\;1.
Como há dois termos positivos e um negativo, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Ela é centrada na origem e aberta ao longo do eixo em que o coeficiente é negativo (o eixo y).

Passo 3

Analisamos seções com planos coordenados:
  1. Plano y=0:
\frac{x^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{25} = 1
é uma elipse de semi-eixos 2 (em x) e 5 (em z).
  1. Plano z=0:
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1
é uma hipérbole com eixo transverso em x.
  1. Plano x=0:
-y^{2} + \frac{z^{2}}{25}=1
é outra hipérbole, agora com eixo transverso em z.
Além disso, para cada valor fixo de y, a seção em um plano paralelo a xz é a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{25}=1 + y^{2},
cujo tamanho cresce com \lvert y\rvert. Isso mostra como o “gargalo” da folha está em y=0 e vai abrindo conforme \lvert y\rvert aumenta.

Passo 4

Para esboçar, faça o seguinte:
  1. Desenhe no plano y=0 a elipse central de semi-eixos 2 e 5.
  2. Trace no plano z=0 a hipérbole que abre para a direita e para a esquerda (eixo x).
  3. Trace no plano x=0 a hipérbole que abre para cima e para baixo (eixo z).
  4. Marque algumas elipses em planos y=\pm 1, y=\pm 2 (elas serão maiores que a do centro).
  5. Una suavemente essas curvas, obtendo a superfície de um hiperbolóide de uma folha, com “gargalo” em y=0 que vai alargando ao longo de y.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, centrado na origem, com elipse central em y=0 de semi-eixos 2 e 5, e que se abre conforme \lvert y\rvert aumenta.

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