Faça um esboço das seguintes quádricas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da quádrica
Este é um problema de geometria das superfícies de segundo grau (quádricas). Para esboçar, vamos:
- Identificar o tipo de quádrica a partir dos sinais dos coeficientes.
- Estudar seções planas (interseções com planos coordenados).
- Usar essas seções para desenhar a forma geral.
Passo 2
Classificamos pelos sinais dos coeficientes em
Como há dois termos positivos e um negativo, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Ela é centrada na origem e aberta ao longo do eixo em que o coeficiente é negativo (o eixo
).
Passo 3
Analisamos seções com planos coordenados:
- Plano
:
é uma elipse de semi-eixos
(em
) e
(em
).
- Plano
:
é uma hipérbole com eixo transverso em
.
- Plano
:
é outra hipérbole, agora com eixo transverso em
.
Além disso, para cada valor fixo de
, a seção em um plano paralelo a
é a elipse
cujo tamanho cresce com
. Isso mostra como o “gargalo” da folha está em
e vai abrindo conforme
aumenta.
Passo 4
Para esboçar, faça o seguinte:
- Desenhe no plano
a elipse central de semi-eixos e . - Trace no plano
a hipérbole que abre para a direita e para a esquerda (eixo ). - Trace no plano
a hipérbole que abre para cima e para baixo (eixo ). - Marque algumas elipses em planos
, (elas serão maiores que a do centro). - Una suavemente essas curvas, obtendo a superfície de um hiperbolóide de uma folha, com “gargalo” em
que vai alargando ao longo de .
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha, centrado na origem, com elipse central em
de semi-eixos
e
, e que se abre conforme
aumenta.