Faça um esboço das seguintes quádricas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da quádricas
O conteúdo é classificação de superfícies de segundo grau (quádricas) e usaremos cortes por planos paralelos aos planos coordenados para entender a forma.
Passo 2
Reescrevendo em forma canônica, trazemos tudo para um lado:
ou ainda
Isso mostra que, para cada valor de
, a interseção com o plano
é uma circunferência, caracterizando um paraboloide elíptico.
Passo 3
O vértice ocorre quando a seção circular se reduz a ponto, isto é, quando
. Logo,
portanto o vértice está em
.
Passo 4
Cortes por planos
:
que são círculos de raio
. À medida que
diminui abaixo de
, os círculos crescem.
Passo 5
Cortes pelos planos
e
:
- Em
:
é uma parábola no plano
com concavidade para baixo e vértice em
.
- Em
:
parábola análoga no plano
.
Passo 6
Para esboçar:
- Desenhe os eixos
, e , com vertical para cima. - Marque o vértice em
. - Para níveis
desenhe círculos centrados em de raio . - Una suavemente esses círculos formando uma “taça” invertida (paraboloide voltado para baixo).
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico com concavidade para baixo e vértice em
, obtido unindo círculos de raio
em cada plano
.