Faça um esboço das seguintes quádricas.
y=5-\left(x^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da quádricas
y = 5 - \bigl(x^2 + z^2\bigr).
O conteúdo é classificação de superfícies de segundo grau (quádricas) e usaremos cortes por planos paralelos aos planos coordenados para entender a forma.

Passo 2

Reescrevendo em forma canônica, trazemos tudo para um lado:
x^2 + z^2 + y - 5 = 0
ou ainda
x^2 + z^2 = 5 - y.
Isso mostra que, para cada valor de y, a interseção com o plano y=\text{constante} é uma circunferência, caracterizando um paraboloide elíptico.

Passo 3

O vértice ocorre quando a seção circular se reduz a ponto, isto é, quando 5 - y = 0. Logo,
y = 5,\quad x=0,\quad z=0,
portanto o vértice está em (0,\,5,\,0).

Passo 4

Cortes por planos y = k:
\text{para }y=k<5:\quad x^2 + z^2 = 5 - k,
que são círculos de raio \sqrt{5 - k}. À medida que y diminui abaixo de 5, os círculos crescem.

Passo 5

Cortes pelos planos x=0 e z=0:
  • Em x=0:
y = 5 - z^2,
é uma parábola no plano (z,y) com concavidade para baixo e vértice em (0,5).
  • Em z=0:
y = 5 - x^2,
parábola análoga no plano (x,y).

Passo 6

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x, y e z, com y vertical para cima.
  2. Marque o vértice em (0,5,0).
  3. Para níveis y=4,\,3,\,1, desenhe círculos centrados em (0,y,0) de raio \sqrt{5-y}.
  4. Una suavemente esses círculos formando uma “taça” invertida (paraboloide voltado para baixo).

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico com concavidade para baixo e vértice em (0,5,0), obtido unindo círculos de raio \sqrt{5-y} em cada plano y=\text{const}.

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