Faça um esboço das seguintes quádricas.
Passo 1
O enunciado pede um esboço da quádricas definida por
Este é um caso clássico de paraboloide elíptico. Para desenhá-lo, vamos usar propriedades de seções transversais e identificar elementos principais: vértice, eixo de simetria e formas das “fatias”.
Passo 2
Identificamos o vértice e o eixo de simetria.
– No ponto temos
, logo o vértice é
.
– A forma é invariante sob troca de
e
, logo o eixo de simetria é o eixo
.
– No ponto
– A forma
Passo 3
Analisamos as seções horizontais (planos
, com
).
Para cada reta fixa, tem-se
Para cada reta
que é um círculo de raio
no plano paralelo a
. Conforme
cresce, esses círculos ficam cada vez maiores. Num esboço, marque alguns valores como
e
.
Passo 4
Analisamos as seções verticais:
- Plano
: a equação reduz a
que é uma parábola no plano
.
- Plano
: a equação reduz a
que é uma parábola no plano
.
Em ambas as seções, a parábola abre para valores positivos de .
Em ambas as seções, a parábola abre para valores positivos de
Passo 5
Montagem do esboço:
- Desenhe três eixos mutuamente perpendiculares
, e , com o eixo vertical. - Marque o vértice em
. - Desenhe algumas curvas circulares horizontais para
e . - Trace parábolas nos planos
e que partem do vértice e se abrem para cima (eixo ). - Interpole suavemente as curvas circulares ligadas pelas “fatias” parabólicas, obtendo a forma de um “bocal” simétrico em torno de
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico com vértice em
e eixo ao longo de
, formando círculos horizontais de raio
e parábolas nas seções verticais.