Faça um esboço das seguintes quádricas.
y=x^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado pede um esboço da quádricas definida por
y = x^{2} + z^{2}
Este é um caso clássico de paraboloide elíptico. Para desenhá-lo, vamos usar propriedades de seções transversais e identificar elementos principais: vértice, eixo de simetria e formas das “fatias”.

Passo 2

Identificamos o vértice e o eixo de simetria.
– No ponto (x,z)=(0,0) temos y=0, logo o vértice é (0,0,0).
– A forma y = x^{2} + z^{2} é invariante sob troca de x e z, logo o eixo de simetria é o eixo y.

Passo 3

Analisamos as seções horizontais (planos y=k, com k\ge0).
Para cada reta y=k fixa, tem-se
x^{2} + z^{2} = k,
que é um círculo de raio \sqrt{k} no plano paralelo a xz. Conforme k cresce, esses círculos ficam cada vez maiores. Num esboço, marque alguns valores como k=1 e k=4.

Passo 4

Analisamos as seções verticais:
  • Plano z=0: a equação reduz a
y = x^{2}\,,
que é uma parábola no plano xy.
  • Plano x=0: a equação reduz a
y = z^{2}\,,
que é uma parábola no plano yz.
Em ambas as seções, a parábola abre para valores positivos de y.

Passo 5

Montagem do esboço:
  1. Desenhe três eixos mutuamente perpendiculares x, y e z, com o eixo y vertical.
  2. Marque o vértice em (0,0,0).
  3. Desenhe algumas curvas circulares horizontais para y=1 e y=4.
  4. Trace parábolas nos planos z=0 e x=0 que partem do vértice e se abrem para cima (eixo y).
  5. Interpole suavemente as curvas circulares ligadas pelas “fatias” parabólicas, obtendo a forma de um “bocal” simétrico em torno de y.

Resposta

O gráfico de \,y = x^{2} + z^{2}\, é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de y, formando círculos horizontais de raio \sqrt{y} e parábolas nas seções verticais.

Exercícios relacionados