Exercício 4. Determine a intersecção da qrádrica x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
z=1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a interseção da esfera de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
com o plano
z=\frac12.
O conteúdo é interseção de quádricas (esfera e plano), que resulta em uma circunferência.

Passo 2

Substituímos z=\tfrac12 na equação da esfera para obter a curva no plano dado. Assim,
x^{2}+y^{2}+\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}=1.

Passo 3

Calculamos \bigl(\tfrac12\bigr)^{2}=\tfrac14. Então a equação reduz-se a
x^{2}+y^{2}+\tfrac14=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=1-\tfrac14=\tfrac34.

Passo 4

Reconhecemos que x^{2}+y^{2}=\tfrac34 é a equação de uma circunferência de raio
r=\sqrt{\tfrac34}=\frac{\sqrt{3}}{2}
no plano z=\tfrac12, centrada em (0,0,\tfrac12).

Passo 5

Para esboçar, imaginamos o plano paralelo ao plano xy deslocado para z=\tfrac12 e desenhamos uma circunferência de raio \tfrac{\sqrt{3}}{2} centrada em (0,0,\tfrac12).

Resposta

A interseção é a circunferência
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=\tfrac34,\\\ z=\tfrac12, \end{cases}
isto é, uma circunferência de centro (0,0,\tfrac12) e raio \tfrac{\sqrt{3}}{2} no plano paralelo ao xy-plano em z=\tfrac12.

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