1. Faça um esboço do sólido no primeiro octante compreendido pelos planos \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{z}=\mathbf{0}, \boldsymbol{x}=\mathbf{5}, \boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}=\mathbf{0} e z=-2 y+6.
  2. Calcule o volume do sólido dividindo-o em duas partes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Fazer um esboço (descrever/geometrizar) do sólido no primeiro octante limitado pelos planos \,x=0\,,\,z=0\,,\,x=5\,,\,z-y=0 e \,z=-2y+6.
  2. Calcular o volume desse sólido dividindo-o em duas partes.
Informações dadas e relevantes:
  • Primeiro octante significa \,x\ge 0\,,\,y\ge 0\,,\,z\ge 0.
  • Planos verticais em x: \,x=0 e \,x=5 (isso anuncia extensão em x de 0 até 5, sem dependência de y,z).
  • Dois planos inclinados envolvendo y,z: \,z-y=0 (ou seja \,z=y) e \,z=-2y+6.
  • O plano \,z=0 também limita o sólido (chão).
  • Não há outras restrições dadas sobre y; as interseções entre os planos vão definir o fechamento do sólido no plano yz.

Passo 2

Encontrar as interseções entre os planos que determinam a “base” no plano yz (isto ajuda a esboçar).
  1. Interseção entre \,z=y e \,z=-2y+6. Igualando:
y = -2y + 6
3y = 6 \Rightarrow y=2.
Substituindo em \,z=y \,z=2. Portanto os dois planos se cruzam na reta paralela ao eixo x passando por (y,z)=(2,2) (em 3D: todos os pontos (x,2,2)).
  1. Interseção de \,z=y com \,z=0: \,y=0, dá o ponto (y,z)=(0,0) (em 3D: (x,0,0) para todos x).
  2. Interseção de \,z=-2y+6 com \,z=0: resolver -2y+6=0 y=3, ou seja ponto (y,z)=(3,0).
Resumo das interseções no plano yz: os três pontos (0,0), (2,2) e (3,0). Esses três pontos são vértices de um triângulo no plano yz.

Passo 3

Descrever o esboço do sólido (onde desenhar o que):
  • No plano yz (com y horizontal e z vertical), temos as retas:
    • z=y passando por (0,0) até (2,2).
    • z=-2y+6 passando por (0,6) e cortando z=0 em y=3; entre (2,2) e (3,0) é a aresta do triângulo.
    • z=0 é a base (eixos).
  • O triângulo de vértices (0,0),(2,2),(3,0) é a seção transversal (base) do sólido no plano yz.
  • Como não aparece x nas equações inclinadas, o sólido é extrudado em direção ao eixo x entre x=0 e x=5. Ou seja, é um prisma triangular reto com base no triângulo do plano yz e comprimento (altura do prisma) igual a 5 em x-direção.
Portanto o esboço: desenhe o triângulo (0,0)\!-\!(2,2)\!-\!(3,0) no plano yz e “puxe” esse triângulo paralelamente ao eixo x de x=0 até x=5 — obtém-se um prisma triangular reto.

Passo 4

Estratégia para o cálculo do volume — porque dividir em duas partes:
  • Como o sólido é um prisma reto em x (os limites não dependem de x), o volume é
V = \text{(área da base no plano }yz\text{)} \times \text{(comprimento em }x\text{)}.á
  • O comprimento em x é \,5-0=5.
  • Precisamos achar a área do triângulo de vértices (0,0),(2,2),(3,0).
  • Para facilitar a conta (e seguir a instrução do enunciado de dividir em duas partes), vamos dividir esse triângulo pela vertical y=2 (plano vertical em 3D), que passa pelo vértice (2,2) e pelo ponto da base (2,0). Assim obtemos dois triângulos mais simples, cujas áreas são fáceis de calcular geometricamente.

Passo 5

Calcular as áreas das duas partes (divisão pela reta y=2 no plano yz):
  • Triângulo esquerdo (parte 1): vértices (0,0), (2,2), (2,0).
    • Escolhemos como base o segmento de (2,0) até (0,0) — comprimento =2 em y.
    • A altura relativa a essa base é a coordenada z do vértice (2,2), que vale 2.
    • Área:
    A_1 = \frac{1}{2}\times (\text{base})\times(\text{altura}) = \frac{1}{2}\times 2 \times 2 = 2.
  • Triângulo direito (parte 2): vértices (2,0), (2,2), (3,0).
    • Base escolhida: segmento de (2,0) até (3,0) — comprimento =1 em y.
    • Altura relativa (mesmo vértice (2,2)) tem z=2.
    • Área:
    A_2 = \frac{1}{2}\times 1 \times 2 = 1.
  • Área total da base:
A = A_1 + A_2 = 2 + 1 = 3.
(Como verificação rápida: o triângulo todo tem base total na aresta z=0 de y=0 até y=3 (comprimento 3) e altura máxima 2, então área seria \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3, concordando.)

Passo 6

Calcular o volume do prisma somando volumes das duas partes:
  • Volume da parte 1:
V_1 = A_1 \times (\text{comprimento em }x) = 2 \times 5 = 10.
  • Volume da parte 2:
V_2 = A_2 \times 5 = 1 \times 5 = 5.
  • Volume total:
V = V_1 + V_2 = 10 + 5 = 15.
Também poderíamos escrever diretamente V = A\cdot 5 = 3\cdot 5 = 15.

Resposta

Esboço: sólido é um prisma triangular reto com base no plano yz sendo o triângulo de vértices (0,0),(2,2),(3,0) e estendido paralelamente ao eixo x de x=0 a x=5.
Volume: V=15.

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