- Faça um esboço do sólido no primeiro octante compreendido pelos planos
e
.
- Calcule o volume do sólido dividindo-o em duas partes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Fazer um esboço (descrever/geometrizar) do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
e . - Calcular o volume desse sólido dividindo-o em duas partes.
Informações dadas e relevantes:
- Primeiro octante significa
. - Planos verticais em
: e (isso anuncia extensão em de 0 até 5, sem dependência de ). - Dois planos inclinados envolvendo
: (ou seja ) e . - O plano
também limita o sólido (chão). - Não há outras restrições dadas sobre
; as interseções entre os planos vão definir o fechamento do sólido no plano .
Passo 2
Encontrar as interseções entre os planos que determinam a “base” no plano
(isto ajuda a esboçar).
- Interseção entre
e . Igualando:
Substituindo em
dá
. Portanto os dois planos se cruzam na reta paralela ao eixo
passando por
(em 3D: todos os pontos
).
-
Interseção de
com : , dá o ponto (em 3D: para todos ). -
Interseção de
com : resolver dá , ou seja ponto .
Resumo das interseções no plano
: os três pontos
,
e
. Esses três pontos são vértices de um triângulo no plano
.
Passo 3
Descrever o esboço do sólido (onde desenhar o que):
- No plano
(com horizontal e vertical), temos as retas: -
passando por até . -
passando por e cortando em ; entre e é a aresta do triângulo. -
é a base (eixos).
-
- O triângulo de vértices
é a seção transversal (base) do sólido no plano . - Como não aparece
nas equações inclinadas, o sólido é extrudado em direção ao eixo entre e . Ou seja, é um prisma triangular reto com base no triângulo do plano e comprimento (altura do prisma) igual a em -direção.
Portanto o esboço: desenhe o triângulo
no plano
e “puxe” esse triângulo paralelamente ao eixo
de
até
— obtém-se um prisma triangular reto.
Passo 4
Estratégia para o cálculo do volume — porque dividir em duas partes:
- Como o sólido é um prisma reto em
(os limites não dependem de ), o volume é
- O comprimento em
é . - Precisamos achar a área do triângulo de vértices
. - Para facilitar a conta (e seguir a instrução do enunciado de dividir em duas partes), vamos dividir esse triângulo pela vertical
(plano vertical em 3D), que passa pelo vértice e pelo ponto da base . Assim obtemos dois triângulos mais simples, cujas áreas são fáceis de calcular geometricamente.
Passo 5
Calcular as áreas das duas partes (divisão pela reta
no plano
):
-
Triângulo esquerdo (parte 1): vértices
. - Escolhemos como base o segmento de
até — comprimento em . - A altura relativa a essa base é a coordenada
do vértice , que vale . - Área:
- Escolhemos como base o segmento de
-
Triângulo direito (parte 2): vértices
. - Base escolhida: segmento de
até — comprimento em . - Altura relativa (mesmo vértice
) tem . - Área:
- Base escolhida: segmento de
-
Área total da base:
(Como verificação rápida: o triângulo todo tem base total na aresta
de
até
(comprimento
) e altura máxima
, então área seria
, concordando.)
Passo 6
Calcular o volume do prisma somando volumes das duas partes:
- Volume da parte 1:
- Volume da parte 2:
- Volume total:
Também poderíamos escrever diretamente
.
Resposta
Esboço: sólido é um prisma triangular reto com base no plano
sendo o triângulo de vértices
e estendido paralelamente ao eixo
de
a
.
Volume:
.