Prove que as funções dadas não são diferenciáveis:
Passo 1
O enunciado pede para provar que a(s) função(ões) dada(s) não são diferenciáveis. A função fornecida é
. Informações relevantes: a função está definida para todos os pontos
. A tarefa explícita é “provar que não é diferenciável”, ou seja, o enunciado afirma que
não é diferenciável e nos pede uma demonstração dessa não diferenciabilidade.
Passo 2
Antes de tentar provar qualquer coisa, vamos lembrar a definição de diferenciabilidade para uma função de duas variáveis — isso é essencial para saber O QUE provar. Dizemos que
é diferenciável no ponto
se existe um mapa linear
tal que
Aqui
e
são os incrementos em
e
; o mapa linear
é a melhor aproximação linear de
em
. Normalmente
tem a forma
onde
e
são os valores das derivadas parciais
e
em
, caso elas existam.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em um ponto genérico
. Usamos a definição de derivada parcial como limite:
Analogamente,
Portanto as derivadas parciais existem em todo ponto e valem
e
.
Passo 4
Pelo que vimos, o candidato natural para o mapa linear
(a diferencial de
em
) é
Agora vamos calcular explicitamente o resto
para ver se
é pequeno o suficiente (ou seja, se
quando
).
Passo 5
Calculemos
usando álgebra simples:
Portanto o resto é exatamente
.
Passo 6
Agora precisamos mostrar que
Para isso usamos uma desigualdade simples: para quaisquer números reais
e
vale
que se obtém observando que
implica
. Assim
Quando
temos
, logo o lado direito tende a
. Portanto
Passo 7
Como o resto normalizado por
tende a zero para qualquer ponto
, concluímos que a função
é diferenciável em todo ponto
. Em outras palavras, a afirmação "
não é diferenciável" é falsa; na verdade
é suave (infinitamente diferenciável).
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.