Prove que as funções dadas não são diferenciáveis:
f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede para provar que a(s) função(ões) dada(s) não são diferenciáveis. A função fornecida é f(x,y)=x y. Informações relevantes: a função está definida para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2. A tarefa explícita é “provar que não é diferenciável”, ou seja, o enunciado afirma que f não é diferenciável e nos pede uma demonstração dessa não diferenciabilidade.

Passo 2

Antes de tentar provar qualquer coisa, vamos lembrar a definição de diferenciabilidade para uma função de duas variáveis — isso é essencial para saber O QUE provar. Dizemos que f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável no ponto (a,b) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Aqui h e k são os incrementos em x e y; o mapa linear L é a melhor aproximação linear de f em (a,b). Normalmente L tem a forma
L(h,k)=A\,h+B\,k,
onde A e B são os valores das derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y em (a,b), caso elas existam.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x y em um ponto genérico (a,b). Usamos a definição de derivada parcial como limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(a+h)b-ab}{h} =\lim_{h\to0}\frac{b h}{h}=b.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{a k}{k}=a.
Portanto as derivadas parciais existem em todo ponto e valem \partial_x f(a,b)=b e \partial_y f(a,b)=a.

Passo 4

Pelo que vimos, o candidato natural para o mapa linear L (a diferencial de f em (a,b)) é
L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,k=b\,h+a\,k.
Agora vamos calcular explicitamente o resto
R(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)
para ver se R(h,k) é pequeno o suficiente (ou seja, se R(h,k)/\sqrt{h^{2}+k^{2}}\to0 quando (h,k)\to(0,0)).

Passo 5

Calculemos R(h,k) usando álgebra simples:
\begin{aligned} f(a+h,b+k)&=(a+h)(b+k)=ab+ak+bh+hk,\\\ f(a+h,b+k)-f(a,b)&=ak+bh+hk,\\\ R(h,k)&=ak+bh+hk-(bh+ak)=hk. \end{aligned}
Portanto o resto é exatamente R(h,k)=hk.

Passo 6

Agora precisamos mostrar que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{|R(h,k)|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{|hk|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Para isso usamos uma desigualdade simples: para quaisquer números reais h e k vale
2|hk|\le h^{2}+k^{2},
que se obtém observando que (|h|-|k|)^{2}\ge0 implica h^{2}+k^{2}-2|hk|\ge0. Assim
\frac{|hk|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\le\frac{\tfrac{1}{2}(h^{2}+k^{2})}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{h^{2}+k^{2}}.
Quando (h,k)\to(0,0) temos \sqrt{h^{2}+k^{2}}\to0, logo o lado direito tende a 0. Portanto
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{|hk|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.

Passo 7

Como o resto normalizado por \sqrt{h^{2}+k^{2}} tende a zero para qualquer ponto (a,b), concluímos que a função f(x,y)=x y é diferenciável em todo ponto (a,b)\in\mathbb{R}^2. Em outras palavras, a afirmação " f não é diferenciável" é falsa; na verdade f é suave (infinitamente diferenciável).

Resposta

A função f(x,y)=x y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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