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Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de
a)
b)
c)
d)
Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar, quando existirem, as assíntotas verticais e horizontais para cada uma das funções abaixo:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes fornecidas e observações iniciais:
- Para procurar assíntotas verticais, devemos olhar pontos do domínio onde a função não está definida (por exemplo bordas do domínio) e checar limites laterais que tendam a
. Uma assíntota vertical em existe se pelo menos uma das limites ou for . - Para procurar assíntotas horizontais, devemos calcular
e . Se algum desses limites for um número finito , então é assíntota horizontal para aquela direção. - Determinar o domínio de cada função é essencial:
- Para (a) e (d) o domínio é todo
(exponencial nunca zero, e gaussiana definida para todo real). - Para (b) e (c) o logaritmo exige
, então o domínio é .
- Para (a) e (d) o domínio é todo
A partir daqui eu vou calcular, passo a passo, os limites relevantes que dizem respeito às assíntotas para cada item.
Passo 2
Item (a):
.
-
Domínio:
, pois nunca é zero. Logo não há pontos de descontinuidade na reta, portanto não há assíntotas verticais. -
Limite quando
: queremos .
- Reescrevo para evidenciar taxas de crescimento:
porque então inverso é . - O passo chave: exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Uma maneira formal de ver isso é usar L’Hôpital na forma
Temos uma indeterminação ; derivando numerador e denominador: Portanto . - Conclusão:
é assíntota horizontal para (lado direito).
- Limite quando
: .
- Conforme
, (positivo e muito pequeno) enquanto (grande em módulo negativo). Assim o quociente tende a : a parte negativa do numerador não é “dominado” no sinal, o denominador é positivo e muito pequeno, então o valor diverge negativamente. - Formalmente, para
muito negativo a fração tem sinal negativo e magnitude grande → . - Conclusão: não há assíntota horizontal no sentido
(o limite é , não um número finito).
Resumo (a): nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal
para
(não para
).
Passo 3
Item (b):
.
-
Domínio:
. Pontos de interesse para assíntota vertical: (borda do domínio). -
Limite quando
: calcular .
- Aqui temos a forma
, indeterminada. Uma técnica útil é a substituição com quando . - Faça a substituição:
Quando , exponencial domina o fator polinomial , então . - Portanto
. - Conclusão: apesar de
, o fator vai a zero rápido o suficiente para anular a divergência; não há assíntota vertical em .
- Limite quando
: .
- Aqui
e , produto dá . Logo diverge para . - Conclusão: não existe assíntota horizontal (não se aproxima de um valor finito quando
).
Resumo (b): domínio
; não há assíntotas verticais; não há assíntotas horizontais (o limite em
é
mas isso não é assíntota horizontal, pois horizontal se define em
).
Passo 4
Item (c):
.
-
Domínio:
. Pontos a checar: (borda) e . -
Limite quando
: .
- Substituição
com : e . Então que diverge para quando . - Portanto
, logo existe assíntota vertical em (pela direita): a função explode negativamente ao se aproximar de .
- Limite quando
: .
- Forma
. Podemos aplicar L’Hôpital: derivadas são . Assim - Conclusão:
é assíntota horizontal quando .
Resumo (c): assíntota vertical em
(lado direito, pois domínio começa em
); assíntota horizontal
para
.
Passo 5
Item (d):
.
-
Domínio: todo
. Não há pontos de descontinuidade, logo nenhuma assíntota vertical. -
Limites quando
:
- Para
, e , então . - Para
, novamente e . - Portanto
e . - Conclusão:
é assíntota horizontal em ambas as direções ( e ).
Observação extra didática rápida sobre porque isto acontece: a função decai muito rápido (mais rápido que qualquer potência) porque o expoente
vai para
como uma função quadrática grande em módulo; isso faz a exponencial ir a zero.
Resposta
a) nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal
para
.
b) domínio ; nenhuma assíntota vertical; nenhuma assíntota horizontal.
c) assíntota vertical em (pela direita); assíntota horizontal
para
.
d) nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal para
e para
.
b) domínio
c) assíntota vertical em
d) nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal