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Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de
a) f(x)=\frac{x}{e^{x-1}}
b) f(x)=x^{2} \cdot \ln (x)
c) f(x)= \frac{\ln (x)}{x}
d) f(x)=e^{-x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar, quando existirem, as assíntotas verticais e horizontais para cada uma das funções abaixo:
a) \displaystyle f(x)=\frac{x}{e^{x-1}}
b) \displaystyle f(x)=x^{2}\cdot\ln(x)
c) \displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{x}
d) \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}
Informações relevantes fornecidas e observações iniciais:
  • Para procurar assíntotas verticais, devemos olhar pontos do domínio onde a função não está definida (por exemplo bordas do domínio) e checar limites laterais que tendam a \pm\infty. Uma assíntota vertical em x=a existe se pelo menos uma das limites \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) for \pm\infty.
  • Para procurar assíntotas horizontais, devemos calcular \lim_{x\to\infty} f(x) e \lim_{x\to -\infty} f(x). Se algum desses limites for um número finito L, então y=L é assíntota horizontal para aquela direção.
  • Determinar o domínio de cada função é essencial:
    • Para (a) e (d) o domínio é todo \mathbb{R} (exponencial nunca zero, e gaussiana definida para todo real).
    • Para (b) e (c) o logaritmo exige x>0, então o domínio é (0,\infty).
A partir daqui eu vou calcular, passo a passo, os limites relevantes que dizem respeito às assíntotas para cada item.

Passo 2

Item (a): \displaystyle f(x)=\frac{x}{e^{x-1}}.
  1. Domínio: \mathbb{R}, pois e^{x-1} nunca é zero. Logo não há pontos de descontinuidade na reta, portanto não há assíntotas verticais.
  2. Limite quando x\to\infty: queremos \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x-1}}.
  • Reescrevo para evidenciar taxas de crescimento: \displaystyle \frac{x}{e^{x-1}}=e\cdot\frac{x}{e^{x}} porque e^{x-1}=e^{-1}e^{x} então inverso é e\cdot e^{-x}.
  • O passo chave: exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Uma maneira formal de ver isso é usar L’Hôpital na forma \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}. Temos uma indeterminação \infty/\infty; derivando numerador e denominador: \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}}=0.Portanto \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x-1}}=e\cdot 0=0.
  • Conclusão: \displaystyle y=0 é assíntota horizontal para x\to\infty (lado direito).
  1. Limite quando x\to -\infty: \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{e^{x-1}}.
  • Conforme x\to -\infty, e^{x-1}\to 0^+ (positivo e muito pequeno) enquanto x\to -\infty (grande em módulo negativo). Assim o quociente tende a -\infty: a parte negativa do numerador não é “dominado” no sinal, o denominador é positivo e muito pequeno, então o valor diverge negativamente.
  • Formalmente, para x muito negativo a fração tem sinal negativo e magnitude grande → -\infty.
  • Conclusão: não há assíntota horizontal no sentido x\to -\infty (o limite é -\infty, não um número finito).
Resumo (a): nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal y=0 para x\to\infty (não para x\to -\infty).

Passo 3

Item (b): \displaystyle f(x)=x^{2}\cdot\ln(x).
  1. Domínio: (0,\infty). Pontos de interesse para assíntota vertical: x\to 0^+ (borda do domínio).
  2. Limite quando x\to 0^+: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^+} x^{2}\ln(x).
  • Aqui temos a forma 0^+\cdot(-\infty), indeterminada. Uma técnica útil é a substituição x=e^{-t} com t\to\infty quando x\to0^+.
  • Faça a substituição: x^{2}\ln(x)=(e^{-t})^{2}\ln(e^{-t})=e^{-2t}\cdot(-t)=-t\,e^{-2t}.Quando t\to\infty, exponencial e^{2t} domina o fator polinomial t, então -t e^{-2t}\to 0.
  • Portanto \displaystyle \lim_{x\to 0^+} x^{2}\ln(x)=0.
  • Conclusão: apesar de \ln(x)\to -\infty, o fator x^2 vai a zero rápido o suficiente para anular a divergência; não há assíntota vertical em x=0.
  1. Limite quando x\to\infty: \displaystyle \lim_{x\to\infty} x^{2}\ln(x).
  • Aqui x^{2}\to\infty e \ln(x)\to\infty, produto dá \infty. Logo diverge para +\infty.
  • Conclusão: não existe assíntota horizontal (não se aproxima de um valor finito quando x\to\infty).
Resumo (b): domínio (0,\infty); não há assíntotas verticais; não há assíntotas horizontais (o limite em 0^+ é 0 mas isso não é assíntota horizontal, pois horizontal se define em x\to\pm\infty).

Passo 4

Item (c): \displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{x}.
  1. Domínio: (0,\infty). Pontos a checar: x\to 0^+ (borda) e x\to\infty.
  2. Limite quando x\to 0^+: \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{x}.
  • Substituição x=e^{-t} com t\to\infty: \ln(x)=-t e x=e^{-t}. Então \frac{\ln(x)}{x}=\frac{-t}{e^{-t}}=-t\,e^{t},que diverge para -\infty quando t\to\infty.
  • Portanto \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{x}=-\infty, logo existe assíntota vertical em x=0 (pela direita): a função explode negativamente ao se aproximar de 0^+.
  1. Limite quando x\to\infty: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}.
  • Forma \infty/\infty. Podemos aplicar L’Hôpital: derivadas são (1/x)/1=1/x. Assim \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
  • Conclusão: \displaystyle y=0 é assíntota horizontal quando x\to\infty.
Resumo (c): assíntota vertical em x=0 (lado direito, pois domínio começa em 0); assíntota horizontal y=0 para x\to\infty.

Passo 5

Item (d): \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}.
  1. Domínio: todo \mathbb{R}. Não há pontos de descontinuidade, logo nenhuma assíntota vertical.
  2. Limites quando x\to\pm\infty:
  • Para x\to\infty, x^{2}\to\infty e -x^{2}\to -\infty, então e^{-x^{2}}\to 0.
  • Para x\to -\infty, novamente x^{2}\to\infty e e^{-x^{2}}\to 0.
  • Portanto \displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{-x^{2}}=0 e \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{-x^{2}}=0.
  • Conclusão: y=0 é assíntota horizontal em ambas as direções ( x\to\infty e x\to -\infty).
Observação extra didática rápida sobre porque isto acontece: a função decai muito rápido (mais rápido que qualquer potência) porque o expoente -x^2 vai para -\infty como uma função quadrática grande em módulo; isso faz a exponencial ir a zero.

Resposta

a) nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal y=0 para x\to\infty.
b) domínio (0,\infty); nenhuma assíntota vertical; nenhuma assíntota horizontal.
c) assíntota vertical em x=0 (pela direita); assíntota horizontal y=0 para x\to\infty.
d) nenhuma assíntota vertical; assíntota horizontal y=0 para x\to\infty e para x\to -\infty.

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