Faça um esboço de (z-2)^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em \mathbb{R}^3 dada por
(z-2)^{2}=x^{2}+y^{2}.
Este é um problema de superfícies quádricas, mais especificamente de identificação e desenho de um cone circular duplo.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
(z-2)^{2}-x^{2}-y^{2}=0.
Esta forma lembra a equação padrão de um cone duplo centrado em torno de um eixo.

Passo 3

Para cada plano z=\text{constante}, a interseção é
x^{2}+y^{2}=(z-2)^{2},
ou seja, círculos de raio \lvert z-2\rvert. Quando z=2, o raio é zero, identificando o vértice do cone em (0,0,2).

Passo 4

Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}=|z-2|, os geratrizes fazem um ângulo de 45^\circ em relação ao eixo z. Portanto temos dois “chapéus” de cone: um voltado para cima z>2 e outro para baixo z<2.

Passo 5

O esboço consiste em desenhar o vértice em (0,0,2) e dois cones alinhados ao eixo z, abrindo simetricamente com inclinação de 45^\circ.

Resposta

Esboço de um cone duplo com vértice em (0,0,2), eixo de revolução ao longo de z, abrindo para cima e para baixo em 45\circ em relação ao eixo vertical.

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