Considere a quádrica 3 y^{2}-z^{2}=x.
(a) Determine as intersecções do mesmo com os planos z=5, x=3 e y=2.
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas
3y^{2}-z^{2}=x
e pede (a) as interseções dessa superfície com os planos z=5, x=3 e y=2, e (b) as interseções com os planos coordenados x=0, y=0 e z=0. Para cada caso, basta substituir a equação do plano na equação da quádricas e analisar a curva resultante (se é parábola, hipérbole ou par de retas).

Passo 2

Interseção com o plano z=5.
Substituindo z=5 em 3y^{2}-z^{2}=x temos
3y^{2}-5^{2}=x
ou seja
x = 3y^{2}-25,\quad z=5.
É uma parábola no plano paralelo ao plano xy em z=5.

Passo 3

Interseção com o plano x=3.
Substituindo x=3 em 3y^{2}-z^{2}=x
3y^{2}-z^{2}=3,
que é a equação de uma hipérbole no plano x=3, vista nas coordenadas y z.

Passo 4

Interseção com o plano y=2.
Substituindo y=2 em 3y^{2}-z^{2}=x resulta em
3\cdot2^{2}-z^{2}=x
ou seja
x = 12 - z^{2},\quad y=2.
Também é uma parábola, agora no plano paralelo ao plano xz em y=2.

Passo 5

Interseções com os planos coordenados:
Em x=0 a equação fica
3y^{2}-z^{2}=0
ou seja
z^{2}=3y^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm\sqrt{3}\,y.
São duas retas passando pela origem no plano x=0.
Em y=0 a quádricas vira
-\,z^{2}=x
ou seja
x=-z^{2},\quad y=0,
que é uma parábola no plano y=0.
Em z=0 obtemos
3y^{2}=x
ou seja
x=3y^{2},\quad z=0,
outra parábola, agora no plano z=0.

Resposta

(a)
Para z=5: \,x=3y^{2}-25,\;z=5 (parábola).
Para x=3: \,3y^{2}-z^{2}=3 (hipérbole).
Para y=2: \,x=12-z^{2},\;y=2 (parábola).
(b)
Em x=0: \,3y^{2}-z^{2}=0, ou z=\pm\sqrt{3}\,y (duas retas).
Em y=0: \,x=-z^{2},\;y=0 (parábola).
Em z=0: \,x=3y^{2},\;z=0 (parábola).

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