Considere a quádrica
.
(a) Determine as intersecções do mesmo com os planos
e
.
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.
(a) Determine as intersecções do mesmo com os planos
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádricas
e pede (a) as interseções dessa superfície com os planos
,
e
, e (b) as interseções com os planos coordenados
,
e
. Para cada caso, basta substituir a equação do plano na equação da quádricas e analisar a curva resultante (se é parábola, hipérbole ou par de retas).
Passo 2
Interseção com o plano
.
Substituindo em
temos
Substituindo
ou seja
É uma parábola no plano paralelo ao plano
em
.
Passo 3
Interseção com o plano
.
Substituindo em
dá
Substituindo
que é a equação de uma hipérbole no plano
, vista nas coordenadas
–
.
Passo 4
Interseção com o plano
.
Substituindo em
resulta em
Substituindo
ou seja
Também é uma parábola, agora no plano paralelo ao plano
em
.
Passo 5
Interseções com os planos coordenados:
Em
a equação fica
ou seja
São duas retas passando pela origem no plano
.
Em
a quádricas vira
ou seja
que é uma parábola no plano
.
Em
obtemos
ou seja
outra parábola, agora no plano
.
Resposta
(a)
Para :
(parábola).
Para :
(hipérbole).
Para :
(parábola).
Para
Para
Para
(b)
Em :
, ou
(duas retas).
Em :
(parábola).
Em :
(parábola).
Em
Em
Em